VIII. - APPENDICE

Des polyèdres réguliers convexes.

877. Un polyèdre régulier est un polyèdre dont toutes les faces sont des polygones réguliers égaux et dont tous les angles polyèdres sont égaux entre eux.

THÉORÈME

878. // ne peut exister que cinq polyèdres réguliers convexes.

Cette proposition n'est qu'un cas particulier de celle du n** 695. On peut d'ailleurs la démontrer directement eii quelques mots.

La somme des faces d'un angle polyèdre convexe devant être inférieure à quatre angles droits (570), si les faces sont des triangles équilatéraux, on ne peut assembler autour d'un même point, pour former un angle polyèdre, que trois ou quatre ou cinq de ces triangles. On construit ainsi : le tétraèdre régulier compris sous quatre triangles équilatéraux ; Y octaèdre

^l8. GÉOMÉTRIB BANS l'bSPACE.

régulier, compris sous huit triairgles équilatéraux ; Xiensaèdre régulier, compris sous vingt triangles équiluléraux. Au delà, six triangles éqnilatéraux assemblés autour d'un même point donnent six angles plans dont k somme est égale à quatre angles droits : il n'y a plus d'angle polyèdre. les six triangles se trouvent développés dans un même plan.

On ne peut employer les carrés ou les pentagones réguliers qu'en les assemblant par trois, puisque l'angle d'un carré esl droit et que celui d'un pentagone régulier est égal à | d'angle droit. On a ainsi V hexaèdre régulier ou cube, compris sous six carrés égaux, et le dodécaèdre régulien compris sous douze pentagones réguliers.

Aucun autre polyèdre régulier convexe n'est possible, puisque, l'angle d'un hexagone régulier étant égal à j d'angle droit, trois angles d'hexagone régulier font en somme quatre angles droits.

Nous prouverons l'existence des cinq polyèdres réguliers énoncés, en montrant comment on peut effectuer leur construction.

PROBLÈME