Construire un polyèdre régulier, connaissant son arête

La construction du tétraèdre régulier ei celle du cube ne peuvent offrir aucune difficulté, d'après ce qui a été dit aux n""* 591 et 645. Nous ne nous occuperons que de l'octaèdre, du dodécaèdre et de Ticosaèdre.

Octaèdre régulier.

Prenons (Jîg, 465) un carré ABCD de côté». Élevons en son centre O

Fig. 465.

une perpendiculaire indéfinie, et portons de part et d'autre du point O sur cette perpendiculaire une longueur égale au rayon du carré ÂBCD, c'està-dire à — ^. En joignant lès points S et S' ainsi obtenus aux sommets

A, B, C, D, on formera un octaèdre régulier SABCDS'. En effet, les huit arêtes SA, SB, ... , S'D, sont égales entre elles et à

LIYRB TII. <- LES CORPS AONDS. 219.

Les huit fkces du polyèdre construit sont donc des triangles équilatéraiix égaux. De plus, ses six angles polyèdres sont égaux entre eux ; car les angles S et B, par exemple, sont leë angles au sommet de deux pyramides quadrangulaires régulières SÂBCD, BÂSCS', évidemment superposables comme ayant même base et même hauteur.

On peut résumer la construction de l'octaèdre régulier en remarquant que trois droites égales et perpendiculaires entre elles en leur milieu, telles que ÂC, BD, SS', ont pour extrémités les six sommets d'un pareil polyèdre.

Dodécaèdre régulier.

Soit (fig. 466] un pentagone régulier ÂBCDE de côté a. Prenons d'autres pentagones réguliers de côté a. Avec deux de ces pentagones joints

au pentagone ÂBCDE, formons en A un angle trièdre qui, ayant ses faces égaies, aura aussi ses angles dièdres égaux. Les trois côtés BA, BC, BH, déterminent alors un angle trièdre B, égal à l'angle trièdre A, comme ayant un angle dièdre égal compris entre deux faces égales entre elles et chacune à chacune. On peut donc former à tous les sommets du pentagone ABCDE des angles trièdres égaux à A, en employant des pentagones réguliers égaux à ce pentagone et disposés comme l'indique la figure. Le penlagone ABCDE est commun à tous les angles trièdres ; le second, le troisième et le quatrième trièdre nécessitent l'addition d'un nouveau pentagone ; le dernier angle trièdre en E se trouve tout construit.

On obtient ainsi un assemblage de six pentagones réguliers égaux et également inclinés. Cet assemblage constitue une surface polyédrale ouverte, moitié du dodécaèdre; et les sommets du décagone gauche [*] FGHIKLMNPR qui la termine correspondent successivement à ^/z età deux pentagones. D'ailleurs, les angles de ce décagone sont égaux entre eux ; en effet, les deux angles trièdres en A et en F sont égaux comme ayant

(*) Ce décagone est gauche; car si les quatro points R, F, G, H, étaient dans un même plan, ce plan contenant aussi le point A, il n'y aurait plus d angle trièdre en A.

:220. GÉOSÉTRIB DANS l'eSPACE.

un dièdre égal compris entre deux faces égales enlre elles et chacune à chacune. L'angle UFG est donc égal à Tangle EAB et, par suite, à Tangle FGH. On peut alors faire tourner le polygone FGH1KLMNPI\ sur lui-même, en faisant passer le sommet F en G, le sommet G en H, etc., sans qu'il cesse de coïncider avec sa première position.

Si l'on construit de la même manière la seconde moitié du dodécaèdre et si on la retourne pour l'opposer à la première moitié, on pourra,, d'après cela, rapprocher les deux calottes polyédrales et appliquer Tun sur Tautre les polygones qui les terminent, en établissant la coïncidence des sommets du premier où il nV a quun pentagone et des sommets du .«second qui en réunissent deux. Comme les plans de ces pentagones onl déjà entre eux l'inclinaison nécessaire pour composer un angle trièdre égal à Tangle A, fensemble obtenu sera bien un dodécaèdre régulier compris sous douze pentagones réguliers égaux formant vingt angles trièdres égaux.

Icosaèclre régulier.

Prenons (/'jg'. 467) un pentagone régulier ABCDE de côté^. Élevons en son centre 0 une perpendiculaire et, dans le plan déterminé par le rayon

OA et cette perpendiculaire, décrivons du point A comme centre, avec a pour rayon, un arc de cercle qui coupera la perpendiculaire au point S;

car a est plus grand que OA = a 1/ Î-- • Les arêtes SA, SB, ... , SE,

seront égales entre elles et à a. Par suite, la surface latérale de la pyramide pentagonale SABCDE sera formée de cinq triangles équi latéraux égaux entre eux et également inclinés, puisque les angles trièdres isocèles en A, B,...,E, sont égaux entre eux comme ayant leurs trois faces égales chacune à chacune.

r4eci posé, en chacun des sommets A et B du triangle SAB, plaçons (comme Tindique la seconde figure) le sommet d'une pyramide identique à la première SABCDE, de nlanière que les deux nouvelles pyramides ABSEFG, BASCliG, aient respectivement avec la première les faces com-