LIVRE VII. — LES CORPS RONDS
munes ASB et ASE, BAS et ESC, et entre elles les faces communes ASB et ABG. Nous aurons ainsi un assemblage de dix triangles équilatéraux égaux et également inclinés.
Cet assemblage forme une surface polyédrale ouverte, moitié de Ticosaèdre, et les sommets de l'hexagone gauche (*) CDEFGH qui la termine réunissent successivement deux et ^row triangles. D'ailleurs, les angles de cet hexagone sont égaux : Tangle DEF, par exemple, est égal à l'angle EFG, car tous deux sont évidemment égaux à l'angle EAG. On peut donc faire tourner le polygone CDEFGH sur lui-même, en faisant passer le sommet C en H, le sommet H en G, etc., sans qu'il cesse de coïncider avec sa première position.
Si Ton construit de la même manière la seconde moitié de l'icosaèdre et si on la retourne pour l'opposer à la première moitié, on pourra donc rapprocher les deux calottes polyéd raies et appliquer l'un sur l'autre les polygones qui les limitent, en faisant correspondre les sommets de l'un qui réunissent trois triangles aux sommets de l'autre qui en réunissent deux. Comme les plans de ces triangles ont déjà entre eux l'inclinaison nécessaire pour constituer alors en chaque sommet un angle polyèdre égal à l'angle S, l'ensemble obtenu sera bien un icosaèdre régulier compris sous vingt triangles équilatéraux égaux formant douze angles pentaèdres égaux.
SCOLIE
880. En ayant recours aux formules S = — et A = — du n° 695, on
forme facilement le tableau suivant qui renferme les nombres des élé • ments des cinq polyèdres réguliers convexes, dont nous connaissons les nombres de faces :
Tétraèdre régulier...
Hexaèdre régulier. .
la
Octaèdre régulier . . .
Dodécaèdre régulier.
la
Icosaèdre régulier. . .
(*) Le contour CDEFGH est gauche ; car si les quatre points C, D, E, F, étaient dans un même plan, les deux pentagones ABCDE, BSEFG, qui ont déjà dans le plan CDE les sommets B et E communs, seraient tous deux dans ce même plan, qui contiendrait le point A en même temps que les points B, E, F; ce qui est impossible, d'après ce qui précède.
