GfiOmiTIIIB DANS L*B8PAGB

Le nombre des faces de l'hexaèdre et le nombre de côtés de ses faces sont respectivement égaux au nombre des sommets de l'octaèdre et au nombre d'aréles de ses angles polyèdres. Il en est de même réciproquement pour Toctaèdre comparé à l'hexaèdre ; le nombre d*arétes reste le même de part et d'autre. Les mêmes conditions sont remplies par le dodécaèdre et l'icosaèdre. On peut donc regarderies polyèdres réguliers convexes comme conjugués deux à deux ; car le tétraèdre régulier ayant autant de faces que de sommets est conjugué à lui-môme.

THÉORÈME

881 . Tout polyèdre régulier convexe est inscriptible et circonscriplibitr à la sphère, »

Soient (fig. 468 ) dans le polyèdre régulier considéré deux faces adjacentes ABCDE, ABC'D'E', dont 0 et 0' sont les centres.

Fig. 468.

Les perpendiculaires OK et O'K au côté commun ÂB se couperont en un même point K; les perpendiculaires OS et O'S aux deux faces ÂBCDE, ÂBC'D'E', lieux respectifs des points à égale distance de leurs sommets, se (X>uperont en un point S, car elles sont situées dans le plan OKO' perpendiculaire à ÂB au point K. Les deux triangles rectangles KOS, KO'S, seront d'ailleurs égaux entre eux, puisqu'ils ont l'hypoténuse KS commune et le côté KO égal au côté KO' comme apothèmes de deux polygones réguliers égaux. L'angle OKO' mesurant l'inclinaison constante de deux faces adjacentes du polyèdre, l'angle OKS égal à l'angle O'KS sera la moitié de cette inclinaison, et le triangle KOS sera, par suite, constant pour toutes les faces.

Si Ton considère une troisième face 0", contiguë à la face ABCDE par le côté CD dont le milieu est L^ la perpendiculaire élevée à cette face par son centre 0** coupera donc la droite OS au point S, de manière que le triangle LO'S soit identique au triangle KOS ou à son égal OLS.

En continuant de proche en proche, on voit que les perpendiculaires élevées aux différentes faces du polyèdre par leurs centres se coupent

LIVRB VU. -- LB8 COBPS EONDS. ti23.

routuellement en un même point S, situé à la même distance de toutes les faices et à la même distance de tous les sommets.

Donc, la sphère de centre S et de rayon SA passe par tous les sommets du polyèdre régulier ou lui est circonscrite; la sphère de même centre S et de rayon SO est tangente à toutes les faces du polyèdre en leurs centres ou lui est inscrite.

Le point S est le centre du polyèdre régulier; SA est son rayon^ SO son apothème.

Corollaires.

882. Si Ton décompose un polyèdre régulier en pyramides en prenant pour centre de décomposition le centre même du polyèdre, les pyramides, obtenues sont régulières : Tout polyèdre rcgidicr j/eut donc être partagé en mitant de pyramides régulières qu^il a de faces.

Les faces latérales de ces pyramides et int prolongées, décomposent évidemment la sphère inscrite ou circonscrite en autant de polygones sphériques réguliers égaux que le polyèdre considéré a de faces.

Le volume d^un polyèdre régulier a fx)ur mesure le produit de son aire par le tiers du rayon de la sphère inscrite (646).

Deux polyèdres réguliers de même ordre étant nécessairement semblables, le rapport des côtés ou des volumes (le ces polyèdres est aussi celui des rayons ou des cubes des rayons des sphèi^s inscrites ou circonscrites.

883. Les centres des faces d^un ptdyèdre régulier sont les sommets d'un autre polyèdre régulier conjugué du premier (Jtg. 4^)-

Fig. 469.

Soient A l'un des sommets du polyèdre donné et S le centre commun des sphères inscrite et circonscrite à ce polyèdre. Désignons ()ar 0, 0', 0% etc., les centres des faces réunies autour du point A. Ces j)oints, étant également dittants des points S et A, sont située» dans un même pian perpendiculaire à SA en un point qui est le centre du cercle circonscrit au

polygone OO'O" De plus, L étant le milieu du côté AB, le triangle

OLO' est constant, et le polygone inscrit 00' 0*. . . ayant 'ses côtés égaux

224* GÉOMÉTRIE DANS l'eSPàCE.

est régulier. Le polyèdre formé en joignant les centres des faces du polyèdre proposé a donc déjà pour faces des polygones réguliers égaux, ot le nombre de ces polygones est égal à celui des sommets du polyèdre dotmé. Il reste seulement à prouver que ces polygones sont également inclinés. Or, si l'on considère les deux faces du nouveau polyèdre qui s'appuient sur le côté 00', l'angle dièdre qu'elles comprennent est le supplément de Tangle constant ÂSB des deux perpendiculaires SA et SB a ces deux faces.

La réciproque de ce théorème est évidente.

On voit qu'en appliquant la construction indiquée sous Tune ou sous l'autre forme, le tétraèdre régulier conduit à un nouveau tétraèdre, i'hexaèdre régulier à un octaèdre régulier et réciproquement, le dodécaèdre régulier à un icosaèdre régulier et réciproquement; ce qui justifie la dénomination de conjuf^uéA' donnée à ces polyèdres (880).

PROBLÈME

884. U/i polyèdre régulier com*exe étant donné , trouver ; i" r inclinaison de deux faces adjacentes; a** les rayons des sphères inscrite et circonscrite,

i" Soient [fig, 470) S le centre de la sphère inscrite ou circonscrit*».

Fig. 470.

AB le côté commun aux deux faces adjacentes dont les centres sont O et 0', Lson milieu : l'angle OLO' mesure l'inclinaison cherchée L

AB étant perpendiculaire au plan OLO', les plans OLO' et ASB sont perpendiculaires. Par suite, si du point S comme centre nous décrivons une sphère, sa rencontre avec l'angle trièdre SAOL déterminera un triangle sphérique alo^ rectangle en /.

Soient, dans le polyèdre considéré, n le nombre de côtés de chaque face, m le nombre d'arêtes- de chaque angle polyèdre. On aura évidemment

angle aol = angle AOL = — = - 1 ^ " 'in n

LIYEB YII. — LES CORPS RONDS. 2^5.

angle r7a/= angle OÂL = — = — .

Le triangle sphérique rectangle aol donne d ailleurs

C0& oai = cosol.smaol.

Mais

coso/ = cosOSL = sinOLS = sin - 1.

On a donc la formule générale •

cos —