TT
sinn
En rappliquant aux différenls polyèdres réguliers convexes, on Irouva pour l'inclinaison I les valeurs suivantes :
Tétraèdre régulier 70''3i'43'',6
Hexaèdre régulier 90®
Octaèdre régulier io9"28'i6%4
Dodécaèdre régulier 1 16** 35' 54*, a
Ico^èdre régulier 1 38** 1 1 '22*, y 5
Les valeurs indiquées sont exactes pour l'hexaèdre et l'icosaèdre, appro- 'Cliées pour les trois autres polyèdres. Les inclinaisons des faces du tétraèdre et de l'octaèdre régulier sont supplémentaires l'une de l'autre.
2** Soient a le côté du polygone donné, r son apothème, R son rayon. Le triangle OLA donne
OL = ALcotAOL=i«cot-' 2 n
Le triangle rectangle SOL donne à son tour
SO = OL tangOLS, c'est-à-dire (1) r=-flCot- tang-L
Le triangle sphérique aol donne enfin
cos (MX = coiaoi.coioal.
Or
On a donc
IL i5
coso^x = cosOSA = ^•
gj^ = tang^o/. tangos/
R ^ ^ * '^ - = tang - tang — •
On en déduit
(2) R = i« tang ^ tang il.
En appliquant les formules (i) et (a) aux différents polyèdres réguliers convexes, on obtient les valeurs suivantes :
Tétraèdre régulier rz=-—^ r = __.
a fli/3
Hexaèdre régulier r=-> R = — — .
Octaèdre régulier /■=— ^-i R = -— .
« j;t xj -X 1- « 4 /a5 -f- 1 1 v/5 ^ fl(v/3-Hv/ï5) Dodécaèdre régulier r= - w ï^ , R = -^-ï ^ — ^-
= 2^ii^.
Icosaèdre régulier r= -^ — ^ r— ' ? R
" la
SCOLIB.
885. Pour deux polyèdres conjugués, les nombres n et m ne faisant
que s'échanger (880), le rapport - demeure constant. Donc, si R est le
même pour ces deux polyèdres, r sera aussi le même. En d'autres termes, si deux polyèdres conjugués sont inscrits à une même sphère, ils seront aussi circonscrits à une même sphère, et réciproquement.
Polygones et polyèdres réguliers d^ espèce supérieure,
886. Nous avons déjà parlé (270) des nouveaux polyèdres réguliers découverts par M. Poinsot, et nous savons qu'i'// a mitant de polygones réguliers différents de m côtés que de nombres premiers à m depuis i
jusqu'à -(m — i).
Pour préciser davantage ce résultat, soit la circonférence divisée en m parties égales aux points A, B, C, etc. ; représentons Tare AB par a, et joignons ces points de penp, à partir de A.
Si p est premier avec ///, le plus petit multiple commun de Tare pn et de la circonférence ma sera puia; cest-à-dire qu'on ne reviendra au point de départ qu'après avoir décrit p fois la circonférence ou m fois l'arc /xr. On aura donc ainsi un polygone éloilé de m côtés.
LlVtE VU. — LES C0EP8 BONIkg. 227.
S\ m eip ont un plus grand commun diviseur 0, le plus petit multiple commun de la circonférence ma et de l'arc pa est -^^- On revient
alors au point de départ, après avoir décrit ^ fois la circonférence, ou
après avoir compté-^ fois Parc pa\ c'est-à-dire qu-on trouve ainsi un
polygone étoile inférieur de ^ côtés.
D'ailleurs, si p, entier inférieur à m, est premier avec m, //i — /? remplira les mêmes conditions. Donc, les nombres entiers inférieurs à m et premiers avec lui se divisent en deux séries dont les termes correspondants forment une somme égale à //i. Deux termes correspondants conduisent au même polygone étoile de m côtés» car la corde de l'arc /m est aussi celle de l'arc (m — p)a,
887. Les polygones étoiles qu'on obtient en suivant la marche indiquée (â70) d ont leurs 771 côtés et leurs m angles bien nets et bien distincts : 0 ce sont les angles qui ont lieu aux bouts réunis deux à deux des m » droites dont la chaîne continue achève complètement la figure. Les » autres angles, formés par les côtés non contigus qui se traversent, . . . » ne doivent pas être comptés ; pas plus que, dans les polygones ordi- » naires, on ne compte les angles qui auraient lieu à la rencontre des » côtés non contigus suffisamment prolongés. Sous ce point de vue, la » différence de ces polygones étoiles aux polygones ordinaires est que, » dans ceux-ci, un côté quelconque aurait besoin d'être prolongé pour » être rencontré par les côlés non contigus aussi prolongés, au lieu que » dans les autres, les côtés mêmes peuvent être actuellement traversés 0 par les autres côtés. . . . Mais toutes ces distinctions sont plus appa- B rentes que réelles, et disparaissent tout à fait dans l'analyse où ces » polygones se présentent d'une manière inséparable. Si l'on cherche, en 0 effet, le côté d'un polygone régulier, on trouve une équation de degré » supérieur, dont toutes les racines sont réelles, et qui donne à la fois les A différents côtés de toutes les espèces de polygones réguliers de Tordre » que l'on considère. » (PoiNSOT,/owr/ra/rfff l'École Polytechnique, t. IV, p.a5.)
888. L*ordre m d'un polygone est marqué par le nombre m de ses côtés ou doses sommets; son espèce varie en raison du nombre premier à m qui lui a donné naissance. Or, si ce nombre est /?, il faut décrire p fois la circonférence (886) pour décrire le polygone lui-même. L'espèce d'un polygone étoile est donc le nombre de circonférences parcourues en suivant tous ses sommets, ou le nombre de fois que les projections de ses côtés sur la circonférence circonscrite recouvrent cette circonférence.
