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Si l'espèce d'un polygone étoile est /?, la somme de ses angles au centre vaut^ fois 4 angles droits.
889. L'ordre d'un angle polyèdre est marqué par Je nombre de ses faces. Il est d'ailleurs de même espèce que le polygone qui résulte do sa section par un plan. Si Ton considère une pyramide régulière ayant pour base un pentagone étoile ou de seconde espèce, Tangle polyèdre au sommet est de seconde espèce, et les angles plans qui le forment, projetés sur la base de la pyramide, remplissent deux fois les quatre angles drcMts.
890. a ... En conservant toujours la définition générale des polyèdres )> réguliers,. . . on voit la possibilité de construire de nouveaux polyèdres » réguliers, non-seulement avec les nouveaux polygones (réguliers). .., » mais même avec les polygones réguliers ordinaires: et pour bien en- » tendre ceci, il faut commencer par distinguer nettement dans un po- » lyèdre ses faces, ses arêtes et ses sommets.
» Comme un même polyèdre peut paraître également construit sous » tels ou tels polygones, on prend pour les faces les plans qui, en plus » pelit nombre, achèvent complètement ce même polyèdre... .
» Pour les arêtesy ce sont les côtés mêmes qui terminent les faces du » polyèdre, et par lesquels ces faces se joignent deux à deux, de sorte » que chaque arête sert de côté à deux faces adjacentes, et qu'ainsi le » nombre des arêtes est (toujours) égal à la moitié du nombre des côtés » de toutes les faces.
» C'est à ces seules droites, comme faîtes, que se trouvent les angles » dièdres du polyèdre; les autres angles que pourraient former les faces » en se traversant n'en font point partie : et de même, c'est aux seuls » points oil se réuni<?sent les extrémités des arêtes que sont les sommets » et les angles polyèdres du polyèdre.
» Cela posé,. . . on peut construire de nouveaux polyèdres parfaitement » réguliers. .. : ils ont toutes leurs faces égales et régulières, également » inclinées deux à deux, et assemblées en même nombre autour de chaque
» sommet. Ils peuvent être inscrits et circonscrits à la sphère (*) La
» différence essentielle de ces polyèdres aux polyèdres (réguliers) ordi- » naires est que, dans ceux-ci, les faces étant projetées par des rayons » sur la sphère inscrite ou circonscrite, les polygones (sphériques) cor- » respondants recouvrent une seule fois la sphère ; au lieu que, dans les » autres, ces polygones la recouvrent exactement ou deux fois ou trois » fois, etc., et cela d'une manière uniforme, de sorte que la surface est
(*) Car la démonstration du n® 881 est fondée seulement sur Vénale inclinaison des faces égales et régulières du polyèdre et sur Tidentité de position du centre de chacune d'elles par rapport à ses intersections avec les faces adjacentes.
LIYRI VII. tB» G0BP8' BONDS. 229.
» partout ou doublée ou triplée^ etc. » (Poinsot, Journal de rÉci>ie Polytechnique y t. IV, p. 35.) On voit ici Tanalogie étroite entre les polygones étoiles (886) et les nouveaux polyèdres.
891. Mordre d'un polyèdre régulier est marqué'par le nombre de ses faces. V espèce du polyèdre est le nombre de fois que sa projection, effectuée comme on vient de le dire (890) sur la sphère inscrite ou circonjM^rite, recouvre cette sphère.
Dans les polyèdres réguliers ordinaires, les angles polyèdres sont aussi de première espèce (889) ; mais dans les nouveaux polyèdres, Tespèce de l'angle polyèdre ne fait pas celle du polyèdre. Le polyèdre peut être d'une espèce, et l'angle polyèdre d'une autre.
892. Il est facile de voir qu'en prolongeant les côtés d'un polygone régulier jusqu'à leur rencontre, on forme un polygone étoile de même ordre, qui a pour noyau le polygone primitif. Les polyèdres réguliers d'espèce supérieure dérivent d une manière analogue des polyèdres réguliers ordinaires, et en prolongeant les arêtes ou les faces d'un des polyèdres réguliers déjà connus, on obtient, sauf les cas d'impossibilité, un nouveau polyèdre régulier qui a pour noyau le polyèdre régulier ordinaire qui a servi de point de départ. C'est ce qu'a établi M. Cauchy (Jour^ nal de l* École Polytechnique y t. IX, p. 68).
Plus tard, M. J. Bertrand ( Comptes rendus de l'Jcadémie des Sciences, t. XLVI) a rattaché les nouveaux polyèdres aux polyèdres réguliers déjà connus, par une démonstration du même genre, mais beaucoup plus simple : c'est celle que nous allons exposer.
893. Nou's regarderons d'abord comme évident que, fies points quelconques étant donnés flans l'espace, on peut toujours trouver un polyèdre CONVEXE, dont les sommets soient pris parmi les points donnés, et qui contienne tous les autres points flans son intérieur, à moins fju^il n'ait précisément pour sommets tous les points donnés eux-mêmes.
Nous savons d'ailleurs (693) qu'il ne peut exister de polyèdre convexe dont chaque sommet soit la réunion de plus de cinq faces.
THÉORÈME
894. Étant fionné unpolyèflre régulier A, et espèce fjuelconque, il existe toujours un polyèflre régulier convexe X qui a les mêmes sommets que le polyètlre A.
Les sommets du polyèdre régulier quelconque A étant sur une même sphère (890), tout polyèdre convexe dont les sommets sont pris parmi ceux de A ne saurait contenir les autres dans son intérieur. Il existe donc (893) un polyèdre convexe X dont tous les sommets se confondent avec ceux du polyèdre A. 11 reste à prouver que ce polyèdre convexe X est régulier.
23o. GtOMtrmn dans l'bsfacb.
Désignons par P la figure formée par reosemble des deux polyèdres considérés, et par Q une autre figure identique à la première. Puiscpie le polyèdre  est régulier, la coïncidence des deux figures pourra être obtenue en plaçant un sommet quelconque de Q sur un sommet déterminé de P, ce qui entraîne Fégalité de tous les angles polyèdres du polyèdre convexe X.
De plus, deux sommets étant Tun sur l'autre, la coïncidence des deux polyèdres  qui font partie de P et de Q, et par suite celle des figures totales, pourra être obtenue au moins de trois manières différentes; car les sommets considérés appartiennent à des angles au moins trièdres et, sur Tune des faces du premier angle, on peut placer une face quelconque du second. Les angles polyèdres correspondants des deux polyèdres convexes X sont donc, à leur tour, non-seulement égaux, mais susceptibles de coïncider aussi de trois manières différentes au moins; et comme ces angles sont trièdres, tétraèdres ou pentaèdres (695), ils ont alors nécessairement toutes leurs faces égales et également inclinées.
Les faces des deux polyèdres X sont donc des polygones équiangles et également inclinés, dont la coïncidence peut être établie en plaçant un sommet arbitraire de Q sur un sommet désigné de P; en d'autres termes, ces faces sont des polygones réguliers égaux. Le polyèdre X, ayant pour faces des polygones réguliers égaux et pour angles des angles polyèdres égaux, est régulier.
THÉORÈME
895. // n'existe que quatre polyèdres réguliers d'espèces supérieures.
« En vertu du théorème précédent, pour obtenir les polyèdres régu- » liers d'espèces supérieures, il faut évidemment prendre les polyèdres » réguliers convexes (878), et procéder de la manière suivante : choisir » un sommet sur Tun de ces polyèdres, et chercher s'il existe d'au- » très, sommets, qui, réunis à celui-là, puissent former un polygone ré- » gulier. » (J. Bbrtband, hc, cit.) Ce polygone est alors une face possible d'un polyèdre d*espèce supérieure ayant mêmes sommets que le polyèdre convexe proposé. Si le polyèdre d'espèce supérieure existe, le nombre des polygones égaux partant ainsi d'un même sommet est le nombre de faces de son angle polyèdre; mais, pour qu'il en soit ainsi, ces polygones égaux doivent pouvoir former un angle polyèdre.
« n est clair que cette construction appliquée au tétraèdre ne donne > rien.
» Chaque sommet de l'octaèdre appartient à deux carrés, lesquels ne » peuvent évidemment pas former les faces d'un polyèdre.
» Chaque sommet du cube peut former, avec deux autres sommets » convenablement choisis, un triangle équilatéral, et cela de trois ma- » ntères différentes; mais ces trois triangles appartiennent à un tétraèdre » régulier.
LITRI TU. — LB8 GOEPS BONDS» 23l .
9 Chaque sommet du dodécaèdre régulier peut, de trois manières dif- » férentes, former des triangles équilatéraux avec des sommets ap|)arte- » nant à deux des faces qui s'y réunissent; mais ces triangles ne feront » pas un angie polyèdre, deux d*enlre eux n ayant jamais d'arête com- » mune.
» Chaque sommet du dodécaèdre régulier peut également être consi- » déré comme le sommet de six triangles équilatéraux dont les autres » sommets appartiennent à des faces contiguës à celles qui contiennent » le sommet donné. Mais ces six triangles équilatéraux sont les faces de » deux tétraèdres réguliers.
» Chaque sommet du dodécaèdre est enfin le sommet commun de trois » pentagones réguliers dont les quatre autres sommets appartiennent au » même polyèdre. Ces trois pentagones ne forment pas les faces d'un » angle trièdre, parce que deux d'entre eux n'ont pas d'arête commune ; » mais les pentagones étoiles qui ont les mêmes sommets forment un » angle trièdre^ et leur ensemble, pour tout le polyèdre, forme le dodé- » caèdre régulier (de septième espèce).
» Chaque sommet de l'icosaèdre est le sommet commun de cinq trian- » gles équilatéraux ayant pour côtés les .droites les plus courtes que l'on » puisse mener entre les sommets, après celles qui forment les cêtés des » faces. Ces triangles forment Ticosaèdre de septième espèce.
» Chaque sommet de l'icosaèdre peut être considéré comme le sommet » commun de cinq pentagones réguliers de première espèce, dont les » quatre autres sommets appartiennent également à l'icosaèdre; ces peu- » tagones sont les faces du dodécaèdre de troisième espèce (à faces con- » vexes). Enfin, les mêmes sommets peuvent être considérés cpmme ap- » par tenant à des pentagones étoiles qui forment le dodécaèdre (de » troisième espèce, à faces étoilées).
» Il n'y a donc en tout que quatre polyèdres étoiles, qui sont précisé- » ment ceux que M. Poinsot a découverts. » (J. Bertrand, ioc. cit.)
Avant d'examiner chacun de ces nouveaux polyèdres réguliers en particulier, cherchons une formule qui nous permette de déterminer exactement l'espèce de chacun d'eux.
PROBLÈME
