Tmuper l'espèce d'un polyèdre régulier

La formule d'Euler, A -♦- a = F -h S, démontrée au n** d88, n'est pas applicable à tous les polyèdres réguliers. Elle ne subsiste que pour ceux, d'ailleurs quelconques, dont la projection (890), faite sur une sphère de centre intérieur au polyèdre, recouvre exactement cette sphère sans aucune duplicature.

Pour généraliser la formule d'Euler et la rendre applicable aux nouveaux polyèdres réguliers, il fout tenir compte à la fois de l'espèce du po-;

23l. GtoJiftTEIS DANS LB8PAGB.

lyèdre considéré (891), de Tespècé de ses faces (888) supposées toale^ de même espèce, et de celle de ses angles polyèdres (889) supposés Ions de même espèce. Ceci posé, projetons le polyèdre donné sur la sphère inscrite ou circonscrite, en prenant pour centre de projection le centre de cette sphère (890).

Soient n le nombre de côtés de Tune des faces du polyèdre, ^ le nombre qui en marque l'espèce, a Taire du polygone sphérique correspondant, s la somme des angles de ce polygone. Décomposons-le en triangles en joignant à ses sommets, par des arcs de grands cercles, la projection du centre de la jface con^dérée. L'aire de Fun de ses triangles, ayant ot pour somme de ses angles, sera, en prenant pour unités Fangle droit et le triangle tri-reclangle (837), a — 2. L'aire a du polygone sphérique, qai contient n de ces triangles, sera a = la — 2 /t. Or la, c'est la somme des angles des n triangles ou la somme s des angles du polygone augmentée de la somme des angles au sommet de ces mêmes triangles, somme qui est égale à 47, puisque l'espèce de la face projetée est 7 (889). U vient donc

tf — .y -t- 4? — '^^'

En désignant par a\ /i*, ..., j', ^"j ...,/?', /l^ ... , les quantités analogu<^s à ^, j et /7, on aura pour les autres faces

Soit E l'espèce du polyèdre ou le nombre exact de fois que sa projection recouvre la sphère dont Taire est ici représentée par 8 (830); nous

aurons

«-t-fl'-hfl''-H...= 8E

ou, en supposant F faces,

8E= (f -hj'-h./-4-...)-t- 4<î).F— 2(/l-4-«'-l-/î''-f-...;.

La somme /i -h /i'-h /l'-t-. . . est évidemment égale à 2A, Â étant le nombre des arêtes du polyèdre. Quant à la somme s -h j'-h j*-»- . . . , elle représente la somme des angles de tous les polygones sphériques obtenus. Mais la somme des angles réunis autour de chacun de leurs sommets, projections de toutes les faces de l'angle polyèdre correspondant, vaut (T fois 4 angles droits, ? marquant Tespèce des angles polyèdres (889). On aura donc, s'il y a S sommets,

Il vient, par suite, en substituant et en simplifiant,