LIVRE VU. — LB8 CORPS RONDS

Si Ton fait dans cellQ formule E = <p = «r = i , on retrouve la formule d'Euler.

M. Poinsot (Mémoire cité) trouve A h- aE = F -h <rS, parce qu'il ne tient pas compte de l'espèce de la face du polyèdre : cette dilTèrence explique les noms différents adoptés pour deux des nouveaux polyèdres.

La formule d'Euler, complètement généralisée pour les polyèdres non réguliers d'espèces supérieures, est la suivante :

A-hîE = 2(.ï».F)-h2(<r.S).

897. Dodécaèdre régulier de septième espèce (Poinsot, quatrième espèce).

On l'obtient à l'aide de pentagones étoiles ou de seconde espèce, formant des angles trièdres de première espèce autour de chaque sommet d'un dodécaèdre régulier ordinaire (895). Ce nouveau polyèdre (fig. 471) a donc vingt sommets (880). En désignant par m le nombre des arêtes d'un de ses angles polyèdres et par n le nombre des côtés d'une de ses faces, on a (695)

2A = /wS et aA = /ïF,

d'où l'on déduit (en faisant S = 20, m = 3, n^ S)

A=3o et F=ia.

234* GtOMÉTEIB DâNS l'eS^ACB.

La formule (I) donne ensuite, en y faisant <r = i, f = a, A = 3o, F = la, S = 20,

aE = a4-hao — 3o ou £ = 7.

Ce nouveau dodécaèdre est donc de septième <«pèce.