Icosaèdre régulier de septième espèce
On l'obtient ( 895 ) à l'aide de triangles équilatéraux formant des angles pentaèdres de seconde espèce autour de chaque sommet d'un icosaèdre régulier ordinaire. Ce nouveau polyèdre (fig. 47a ) a donc la sommets ( 880).
Fig. /I7*.
En faisants = la, i/i = 5, /i = 3, dans leséquationsaA= //tSet a A = n¥, on trouve
A = 3o et F=ao.
La formule (I) donne ensuite, en y faisant 7 = i et v = a, aE = ao-Ha4— 3o ou £ = 7.
Ce nouvel icosaèdre est donc de septième espèce.
899. Dodécaèdre régulier de troisième espèce, à faces conpexes.
On Tobtient (895) à Taide de pentagones réguliers ordinaires formant
LITtB m. LBS CORPS RONDS. 235.
des angles pentaèdres de seconde espèce autour do chaque sommet d'un ' icosaèdre régulier ordinaire. Ce nouveau polyèdre ayant 12 sommets, les équations aA = mS et 2 A = /tF donnent (pour w = 5 et /i = 5)
A = 3o et F= 12.
La formule (I) donne ensuite, pour 7=1 et <r = a,
aE = ia-f-a4 — 3o ou E=3.
Ce nouveau dodécaèdre à faces convexes {fig, 4/3) est donc de troisième espèce.
Fig. 4:3.
900. Dodécaèdre régulier de troisième espèce, à faces éioUées (Poinsot seconde espèce).
On l'obtient (895) à l'aide de pentagones étoiles formant des angles pentaèdres de première espèce autour de chaque sommet d'un icosaèdre régulier ordinaire. Ce nouveau polyèdre a donc 12 sommets (880). Les équations 2A = mS et 2 A = n¥ donnent alors, pour m = 5 et /? = 5,
A=3o et F = i2.
La formule (I) donne ensuite, pour «p = a et <r = 1 ,
2E = 24-hia — 3o ou E = 3.
a36, eÉQHfiTEIB 1>ANS l'sSPAGB.
Ce nouveau dodécaèdre à faces étoilées (fig. 474) est donc aussi de troisième espèce.
Fig. 474.
90i . Voici le tableau des éléments des quatre nouveaux polyèdres réguliers.
Dodécaèdre régulier de teptième
espèce
Isocaèdre régulier de septième
espèce
Dodécaèdre régulier de troisième
espèce, à faces convexes
Dodécaèdre régulier de troisième
espèce, à faces étoilées
Li i!
On voit que les nouveaux polyèdres sont conjugués deux à deux, comme les polyèdres réguliers ordinaires (880).
902. Pour familiariser davantage le lecteur avec les nouveaux polyèdres,
LlVftB VII. — • LES CORPS BONDS. 7.37 •
nous terminerons en indiquant aussi leur mode de constnictton d*aprës Cauchy (892), parce qu'il fait peut-être mieux image que celui /adopté plus haut (895).
a En prolongeant dans le dodécaèdre ordinaire les arêtes qui forment » les côtés des douze pentagones, on obtient le dodécaèdre étoile (de » troisième espèce).
» Si, dans le dodécaèdre ordinaire, on prolonge le plan qui contient » chaque face jusqu'à la simple rencontre des plans des cinq faces qui » entourent la face opposée, on obtiendra le dodécaèdre de troisième esj> pèce, compris comme le dodécaèdre ordinaire sous des pentagones dé » première espèce.
» Enfin, si l'on prolonge les arêtes qui, dans ce dodécaèdre de troisième » espèce, forment les côtés des douze pentagones, on obtiendra le dodé- » caèdre de septième espèce.
» On obtiendra l'icosaèdre de septième espèce, en prolongeant chaque » face de Ticosacdre ordinaire jusqu'à la rencontre des plans des trois » triangles qui entourent la face opposée à celle que Ton considère. »
Figures homothctiques dans Vcspace.
903. Étant donné un système de points A, B, C, . . . , situés d'une manière quelconque dans l'espace [fg^ 220 et 221), si, sur les rayons SA, SB, se, . . . , issus d'un point S pris à volonté, on prend à partir de ce point des segments SA', SB', SC', . . . , tels que
SA' SB' se '
