SA ■" SB "" SC

X étant un nombre quelconque, on dit que le nouveau système de points A', B', G',..., est homothétiquc au système primitif ABC. .. Suivant que le rapport X tVhomotliétie est positif ou négatif, les points homologues tels que A et A' sont situés d'un même côté ou de côtés différents par rapport au centre S d'Iiomothetie, et les deux systèmes ABC. . . , A'B'C. . . , sont dits homothétiques directs ou homothétiques inverses,

La définition de Thomothétie est donc la même pour les figures de Tespace que pour les figures planes (352). Toutefois, il n'est plus vrai de dire ici, comme dans le plan, que l'homothétie inverse donne, abstraction faite de la position, les mêmes figures que Thomothétie directe ; F étant une figure quelconque de l'espace, si l'on construit, à l'aide d'un centre S arbitraire, la figure homothétique directe F' suivant le rapport X, et la figure homothétique inverse F, suivant le rapport — X, les deux figures F' et F, seront symétriques par rapport au point S (658). Or, on ne peut plus faire coïncider deux pareilles figures (673), tandis que dans le

!k38. «tOMtTRIB DAMS l'kSPAGB.

p]an une rotation de 180 degrés autour du poiot S entràinait la co'ûicidence (352).

904. La figure homothétique d^ une sphère est une sphère; la démonstration est la même que celle du n** 353. Par suite, comme un cerde peut toujours être considéré comme Tintersection de deux sphères, ia Jigtar homothétique (Tune circonférence par rapport à un point quelconque de Vespace est tme circonférence.

905. Le théorème du n^ 354 et sa démonstration subsistent. JLfâJlgiirr homothétique d^ une droite est une droite parallèle à la première, ell*an^ de deux droites est égal à celui de leurs droites homologues (355, 356).

La figure lèomothétique d^ un plan est un plan parallèle au premier, car si Ton considère dans le plan donné une droite qui tourne autour d*uB point A, dans chacune de ses positions cette droite aura pour homothétique une droite parallèle passant par un point fixe A' homothétique de A. Il résulte de là : 1^ q\i*un plan qui passe par le centre d'homot/iéeie est à lui-même son homothétique ; a** que V angle de deux plans est égal à l'angle de leurs fiomothétiques.

Les tangentes en deux points homologues de deux courbes homothétiqtœs sont parallèles, comme limites de sécantes parallèles. Par suite (S65. 508 ) y les plans tangents en deux points homologues de deux surfaces homothétiques sont parallèles.

906. Deux systèmes sont homntliétiques, s'il existe dans V espace deux points 0 et 0' tels, que les droites qui joignent le point Oaux diwrrs points du premier système, et les droites qui joignent le point 0' aux dipers points du second système, soient parallèles et dans un même rapport k ; la démonstration est la même qu*au n"" 358.

Il résulte de là que deux sphères quelconques sont à la fois Itomothétiques directes et homothétiques inverses [^&d); les deux centres dliomothélie divisent harmoniquement la ligne des centres des deux sphères: ces centres sont en outre les sommets des deux cônes qu'on peut cirrooscrire aux deux sphères. Lorsque les deux sphères sont tangentes, lear point de contact est un centre d'homothélie,€///vr/^ si le contact est intérieur, inverse si le contact est extérieur.

907. Le théorème du n''361 et sa démonstration subsistent. Ainsi, ^rwjsystèmes homotftétiques à un troisième sont homot/té tiques entre eux, et les trois centres d^homolhétie sont sur une même ligne droite, qu'on nomme axe d'homothétie des trois systèmes.

Trois sphères considérées deux à deux ont trois centres d'homolbétie directe et trois centres d'homothétie inverse (906). Elles ont donc quatre axes d*homothétie : un axe dUiomothétie directe qui contient les trois centres d'homothétie directe, et trois axes d'homothétte inverse qai

UTBB Til. — LBB G0BP8 BONDS. aSg.

renferment chacun deux centres d*bomothétie inverse et le centre direct qui répond au troisième centre inverse. Ces quatre axes d'hofnoi/iétie sont ceux des trois cercles (364) que Ton obtient en coupant les trois sphères par le plan qui passe par leurs centres.

908. Lorsque quatre systèmes P,P', P*, P*", sont homothétiques deux à deux, leurs ^x centres d'homot/tetie sont situés dans un même pian.

En effet, soient respectivement 0^ 0,, 0^, les centres d'homothétie de P et P', de P et P*, de P et P"*; le plan 0, 0, 0, est à lui-même son homologue dans les systèmes P et P', puisqu'il contient leur centre 0, ; il est aussi à lui-même son homologue dans les systèmes P et P", puisqu'il contient leur centre 0,. Donc, ce même plan est encore à lui-même son homologue dans les systèmes P' et P' (907); et par suite, il contient leur centre d'homothétie. On prouverait de même que ce plan passe par les centres d'homothétie de P' et P*, et de P''et P*".

Ces six centres d'homothétie sont les sommets d'un quadrilatère complet dont les côtés sont les quatre axes d'homothétie des quatre systèmes proposés pris trois à trois. Le plan de ce quadrilatère reçoit le nom de plan d'homothétie des quatre systèmes P, P', P", P'^.

909. Considérons en particulier le cas de quatre sphères. Comme deux sphères sont à la fois homothétiques directes et homothétiques inverses, on aura douze centres d'homothétie, dont six directs et six inverses. Il est aisé de voir qu'il y a huit plans d'/wmothétie. En effet, imaginons le tétraèdre dont les sommets sont les centres des quatre sphères ; sur chaque face de ce tétraèdi*e, il y a six centres d'homothétie, trois directs et trois inverses (907). Considérons l'un 0 des six centres qui gont sur lune des faces; ce point 0 appartient à deux droites A et B dont chacune passe par deux autres centres de la même face. D'ailleurs, ce même point 0 est commun à une autre face du tétraèdre, et, par suite, il appartient égale* ment à deux autres droites C et D situées sur cette seconde face. En combinant les deux droites A et B de la première face avec les deux droites C et D de la seconde, on obtient quatre plans, AOC, AOD, BOC, BOD, dont chacun passant par cinq centres d'homothétie renrerme nécessairement le sixième centre correspondant. Ainsi, par chaque centre 0 de la première face, passent quatre plans d'homothétie ; mais chacun de ces plans est commun à trois centres de cette même face. Donc le nombre total des plans d^homothétie est égal à huit.

910. Deux figures de l'espace sont semblables lorsque, par un déplacement convenable, on peut amener la seconde sur l'une des homothétiques directes de la première. Or, d'après le n" 907^ pour avoir tous les systèmes homothétiques à un système donné, il n'est pas nécessaire de faire varier le centre; il suffit, en prenant un centre arbitraire, de faire varier h de

34o. GtOMfiTRIB DANS l'eSPAGB.

o à œ (362). Donc, on obtiendra toutes les figures semblables à uw ûgure donnée, en construisant, avec un centre pris à volonté, lés surface» homolbétiques qui répondent à toutes les valeurs du rapport /% depuis zéro jusqu'à Tinfini.

Ainsi deux sphères quelconques sont semblables (904).

La seule figure semblable à une surface conique est cette surface ennique elle-même; car si l'on prend le sommet 0 pour centre d'honaothétîe. Thomologuô A' d*un point quelconque A de la surface conique proposée est situé sur la génératrice OA (355).

Enfin, deux surfaces cjrlindnqiœs sont homotliétiques hrsque Iturs génératrices sont parallèles^ et leurs directrices deux courbes liomotlté' tiques; car la figure homothétique d'une droite est une droite parallèle. Par suite, les sections par un même plan de deux cylindres Immotftétiques sont deux courbes homotliétiques dont le centre est à la rencontre du plan sécant et de la parallèle aux génératrices menée par le centre d*homothétie des deux cylindres (359).

F Ole et plan polaire par rapport à la sphère.

911. Un point 0 et une splière C étant situés dUine manière quelconque flans l'espace, si par le point 0 on mène une sécante quelconque OFE (fig.iii etiiZ^ /î°337), et qu^on détermine le conjugué harmonique l du point 0 par rapport à EF, le lieu géométrique du point I, lorsque la sécante tourne autour du point 0, est un plan P perpendiculaire au diamètre AB qui passe parle point 0; car, dans chaque plan mené par OC, le lieu est une droite (337) perpendiculaire au diamètre AB et menée par le point H conjugué harmonique de 0 par rapport à ce diamètre.

On dit que le point 0 est \epâle du plan P et que le plan P estleplan polaire du point 0 par rapport à la sphère C.

Le plan polaire P d'un point 0 est évidemment le lieu des polaires du point 0 par rapport à tous les cercles de la sphère dont les plans passent par 0.

Le rayon de la sphère est moyen proportionnel entre les distances du centre au pôle et au plan pilaire, La discussion des positions du pôle et du plan polaire par rapport à la sphère est la môme qu'au n" 338. Nous remarquerons seulement que, lorsque le pôle est extérieur h la sphère, le plan polaire est le plan de la circonférence de contact du cône qui est cireonscrit à la sphère et qui a le pôle fxtur sommet,

912. Les plans polaires de tous les points dUtn plan passent parle pôle de ce plan; et inversement, les pôles de tous les plans qui passent par un même f joint sont sur le plan polaire de ce point, La démonstration du n"" 339 subsiste, seulement XY (^. 214) représente alors la projectton,sur le plan considéré, de la droite CO qui joint un point quelconque 0 de ce plan au centre C de la sphère.

LITRE Yll. — LES CORPS RONDS. ^^l •

11 résulte de là que, si chacun des points d'un plan P est pris fmir sommet cVun cône circonscrit à itt sphère^ les plans des cercles de contact passent tous par un même point p pôle du plan P ; inversement, .w, suivant chacun des cercles de la sphère dont les plans passent par un même point py on circonscrit un cône à la sphère y les sommets de ces cônes sont ious dans un même plan P, qui est le plan polaire du point p,

913. Soient une sphère dont le centre est 0 et une droite quelconque AB (Jîg, 475). Prenons le pôle A' de AB par rapport au grand cercle ECFD situé dans le plan AOB, et par le point A' élevons la perpendiculaire A'B' à ce plan AOB; on voit que réciproquement la droite AB est la perpendiculaire au plin OA'B' élevée par le pôle A de A'B' par rapport au grand cercle EIFK situé dans le plan OA'B'. Les deu:!^ droites AB, A'B', ont reçu, d'après cela, le nom de droites réciproques par rapport à la sphère 0.

Fig. 475.

Quand deux droites sont réciproques par rapjwrt à une sphère^ chacune déciles est le lieu des pôles de tous les plans passant par Vautre; ou, ce qui revient au Jipême, chacune déciles est l'intersection commune des plans polaires des divers points fie r autre. En eflFet, le plan polaire d'un point quelconque M de AB est perpendiculaire au plan FCE, et sa trace sur ce plan est la polaire du point M par rapport au cercle FCE. Cette trace passe donc (339] par le point A' qui est le pôle de AB par rapport au cercle FCE. Par suite, le plan polaire CID du point M renferme la droite A'B'.

Il résulte de là que, lorsque deux plans sont tangents a la sphère, leur intersection est réciproque de la droite qui unit les deux points de contact, car ces points de contact sont les pôles des plans tangents.

Remarquons enfin que la droite AB est le lieu des pôles de sa réciproque A'B' par rapport à tous les cercles de la sphère dont les plans passent par A'B'. En effet, A' étant le pôle de la droite AB par rapport au cercle FCE, si N est le point où la droite AË rencontre le diamètre CD d'un cercle quelconque CID conduit par A'B', les points C, A', D, N, forment