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un système harmonique; donc Nest le pôle de Â'B' par rapport au cercle CID.
Plan radical de deux sphères,
914. Si, par un point M de l'espace, on mène à une sphère 0 une sécante arbitraire qui rencontre la sphère en  el B, le produit MA.iyB a une valeur indépendante de la direction de la sécante. Ce produit constant, qui est positif lorsque le point M est extérieur à la sphère, négatif lorsque le point M est intérieur, et nul lorsque le point M est sur la surface sphérique, prend le nom de puissance du jjoint M par rap/mri à la sphère 0.
La puissance d'un point par rapport à une sphère est égale, en grandeur et en Mgne, à l'excès du carré de là distance de ce point au centre sur le carré /lu rayon (368). Lorsque le point est extérieur à la sphère, sa puissance est égale au carré de la tangente menée à la sphère par cr point.
Quand deux sphères se coupent orthogonalenicnt, le carré du rayon fie chacune d'elles est égala la puissance de son centre par rapport à l'autre sphère (869).
9io. Le lieu des points d'égale puissance par rapport à deux sphères est un plan perpendiculaire à la ligne des centres (370).
Ce plan a reçu le nom de plan radical des deux sphères. — Lorsque deux sphères se coupent^ leur plan radical est le plan du cercle commun ; lorsque deux sphères se touchent, leur pjan radical est le plan tangent au point commun. — Le plan radical de deux sphères concentriques disparait à l'infini.
Le plan radical de deux sphères est le lieu des points d'où l'on peut leur mener des tangentes égales (371 ). C'est aussi le lieu des centres des sphères qui coupent les deux premières orthogonalement (o72).
916. Les plans radicaux de trois sphères considérées deux à deux passent par une même droite (373). Cette droite est la perpendiculaire au plan des centres dos trois sphères, élevée par le centre radical des trois grands cercles contenus dans ce plan ; elle a reçu le nom à'axe radical des trois sphères.
Lorsque les centres des trois sphères sont en ligne droite, l'axe radical se transporte à Tinfini : il peut cependant arriver que les trois plans radicaux coïncident, auquel cas les trois sphères ont un plan radical au lieu d'un axe radical.
917. Enfin, les six plans radicaux de quatre sphères considérées deux à deux passent par un même point. Car le point où l'axe radical des trois premières sphères rencontre le plan radical de Tune de ces i^phères et de la quatrième, est d'Igale puissance par rapport aux quatre sphères; il est
LIVRB Vfl. — LB8 CORPS RONDS. 243.
donc commun aax six plans radicaux des sphères considérées deux à deux, et aussi aux quatre axes raclicaux des sphères considérées trois à trois.
Ce point est dit le centre radical des quatre sphères. Il est uniqre, à moins que les centres des quatre sphères ne soient dans un même plan ; dans ce cas, il peut arriver que le centre radical disparaisse à Tinfini, ou bien qu'il soit remplacé par un axe radical, ou même par un plan radical si les centres des quatre sphères sont en ligne droite.
918. Les propriétés des n°* 376, 377, 378, 379, subsistent aussi bien que leurs démonstrations. Ainsi :
Les plans tangents en deux points anti-homologues de deux sphères se coupent suivant une droite située dans le plan radical des deux sphères;
Le plan radical d'une sphère et d^un plan est ce plan lui-mémey et ce sont les extrémités du diamètre perpendiculaire au plan qui jouent alors le rôle de centres de similituile ; •
Le plan radical de deux sphères est à égale distance des deux plans polaires de l'un quclcomiue des centres de similitude;
Le plan radical d'une sphère et d'un point est à égale distance de ce point et de son plan polaire par rapport à la sphère.
Splwre tangente h quatre sphères données,
919. Désignons par A, B,C, D, les centres des quatre sphères données, et cherchons à déterminer la sphère w qui enveloppe les sphères A, B,C, D, et la sphère w' qui est enveloppée par ces mômes sphères (387 ).
Supposons le problème résolu : soient a et a' les points de contact des sphères o> et u' avec la sphère A, b et b^ leurs points de contact avec la sphère B, c et c' avec la sphère C, d et d' avec la sphère D. Tout revient à trouver les cordes aa\ bb\ cc\ dd\ Ces cordes sont déterminées par les deux propriétés suivantes :
I** Chacune des conles aa\ hb\ cc\ dd\ passe par le centre radical des quatre sphères données A, B, C, D. — En effet, a étant le centre de similitude directe des sphères u et A, et a' le centre de similitude inverse des sphères «i>' et A, la corde aa' doit passer par le centre de similitude inverse S des sphères w et w' (907). On verrait de même que ce point S appartient aussi aux cordes bb\ ce' et dd'. Un raisonnement analogue montre que ab et a'b* concourent au centre de similitude directe C des sphères A et B; donc, les cordes aa* et bb' des sphères A et B sont antihomologues (376, 9i8), et leur point d*intersection S appartient au plan radical des sphères A et B. On verrait de même que ce point de concours S de ac^, bb\ cc\ dd\ appartient à chacun des plans radicaux des sphères données considérées deux à deux ; il est donc le centre radical de ces sphères (917).
344* GÉOHtniE DANS l'bSPAGS.
a® Chacune des cordes aa\ Wy cc\ dd\ contient le pâle, par rapporta sa sphère,, du plan de similitude directe des quatre sphères données, — En effet, puisque S est un centre de similitude des spiières w et a»', les deux cordes ah et a*y sont anti -homologues, et leur point de concours C doit appartenir au plan radical des deux sphères u et w'. On verrait de môme que ce plan radical passe par chacun des centres de similitude directe des quatre sphères données considérées deux à deux. Donc, le plan radical des sphères » et &>' coïncide avec le plan de similitude directe (908, 909) des sphères A, 6, C, D. D'après cela, ce plan doit contenir Tintersection des deux plans tangents à la sphère A aux deux points anli-horoologues a et a' (918), c*est-à-dire la droite réciproque de la corde at^ par rapport à la sphère A (913); donc, inversement, la corde ad doit renfermer le pôle p, par rapport à la sphère A, du plan de similitude considéré.
On conclut de là la règle suivante : Déterminez le centre radical S et le plan de similitude directe des "quatre sphères données A, B, C, D; prenez par rapport à chacune d'elles les pôles p^q^ r^ s^ de ce plan^ et menez les droites Sy*, S^, Sr, Sj, qui rencontreront les sphères A, B, C, D, aux points de contact a et a\ b et b\ c et c\ det d'\ il ne restera plus alors qu'à faire passer une sphère w par les quatre points û, b^ c, rf, et une spltère w' par les quatre points a\ b\ r', d'.
En remplaçant le plan de similitude directe par chacun des sept autres plans de similitude (909), on obtiendrait les sept autres couples de sphères tangentes. Le problème admet donc seize solutions.
La construction précédente s'applique à tous les cas particuliers qu'on obtient en supposant qu'une ou plusieurs des sphères A, B, C^ D, se réduisent à des points ou à des plans.
920. Supposons que les trois sphères A, B, G, restant 6xes, la sphère D varie. Le point S, centre radical des quatre sphères (919), décrira Taxe radical des trois sphères fixes A, B, C. Le plan de similitude directe des quatre sphères tourne alors autour de Taxe de similitude directe des trois sphères A, B, C; par suite, le point /^ décrit la droite réciproque de cet axe de similitude (913), droite qui est perpendiculaire au plan des centres des sphères A, B, C. La droite Sp s'appuie donc constamment sur deux droites perpendiculaires au plan des centres des sphères A, B, C, et te point a ne sort pas du plan déterminé par ces perpendiculaires. Le lieu du point a est donc le cercle suivant lequel ce plan coupe la sphère A.
On obtient ainsi ce théorème remarquable dû à Dupuis :
Quand une sphère variable w touche constamment de la même manière
trois sphères fixes A, B, C, chacun des trois points de contact décrit un
petit cercle de la sphère fixe correspondante,
921. Les auteurs qui se sont occupés do la construction donnée au n® 919 [Gaultier (de Tours), Journal de l'École Polytechnique, t. IX;
U¥RS TH. — LES GOBPS RONCS. ^^4^.
Hbbghann, Mémoires de V Académie de Lille y \%%Z\ J.-Â. Serrbt (*), Journal de Crelle, l. XXXVII ; etc.] ont fondé leur démon stra lion sur le théorème de Dupuis. Au lieu de suivre celte marche qui rompt Tanalogie avec la solution du problème correspondant de Géométrie plane (387), nous avons tenu à conserver complètement cette analogie et à traiter directement la question sans le secours du Ihéoi ème de Dupuis, qui n^est plus alors qu'un corollaire immédiat de la solution trouvée. Le raisonnement y gagne d'ailleurs en simplicité.
Sphère tangente à quatre plans donnés.
9^. Cetfe question n'est qa*un cas particulier de la précédente, mais elle est assez importante pour qu'il soit utile do la traiter directement.
Supposons que les quatre plans proposés forment un tétraèdre ABCD (fig. 476)» et cherchons combien il peut exister de sphères tangentes aux quatre faces de ce tétraèdre indéfiniment prolongées, c'est-à-dire de points à égale distance de ces quatre faces.
Le lieu des points à égale distance des deux faces ÂBC,ÂBD, prolongées, est renaemble des deux plans bissecteurs a et a' des angles dièdres DABC, DABH, formés par ces faces. De même, le lieu des points à égale distance des deux faces ABC, ACD, est l'ensemble des deux plans bissecteurs 3 et ^' des dièdres qu'elles forment. Les deux plans p et ^' coupent les deux plans a et a' suivant quatre droites partant du point A. L'une d'elles AO,, intersection des plans a et p, tombe dans l'intérieur du té-
(*) Nous engageons le lecteur familiarise avec la (Icomctrie analytique, à lire Tanalyse aussi élégante qu'instructive de M. J.-A. Serret.
traèdre ABCD ; les trois autres tombent en dehors. LMntersection AO, des plans a et p' perce le plan BCD dans la partie EDCF ; rinterseclion AO, des plans a' et p perce le plan BCD d.^ns la partie HBDK; enfin, limer* section AO^ des plans a.' et p' perce le plan BCD dans la partie GBCP.
Les quatre droites AO,, A0„ AO3, AO4, ainsi obtenues, étant le lieu des points de l'espace à égale distance des trois faces ABC, ABD, ACD, les plans bissecteurs des dièdres formés par les faces ABD, ACD, passeront par ces droites. Les centres des sphères tangentes aux quatre plans donnés ne peuvent donc se trouver que sur les quatre droites déterminées. Mais ces centres doivent aussi appartenir aux deux plans bissecteurs 7 et 7' des dièdres formés par les faces ABC, BCD, prolongées ; et comme un plan et une droite ne peuvent avoir qu'un point commun, il ne peut y avoir plus de huit points d'intersection entre les quatre droites considérées et les deux plans 7 et 7'. En outre, les points ainsi trouvés étant à égale distance des quatre faces du tétraèdre ABCD, sont contenus dans les plans bissecteurs des autres dièdres à la base. Il ne peut donc exister plus de huit sphères tangentes aux quatre plans donnés. Voyons comment elles sont placées.
La sphère tangente intérieurement ou inscrite dans le tétraèdre existe toujours; car le plan 7 faisant un angle aigu avec le plan BCD, dans le sens CD, rencontre nécessairement la droite AO, dans l'intérieur du tétraèdre.
' Les quatre sphères tangentes extérieurement à Tune des faces du tétraèdre et aux prolongements des trois autres, ou sphères ex-inscrites^ existent également toujours. Car le plan 7' -coupe nécessairement la droite AO, au-dessous du plan BCD, à Tintérieur de l'espèce de tronc de pyramide ouvert formé par ce plan et les prolongements des trois autres faces du tétraèdre. De même, si S et S' sont les plans bissecteurs des dièdres suivant Tarête CD, le plan extérieur S coupe AO, en un point situé entre A et 0,, centre de la sphère ex-inscrite qui repose sur la face ACD. Si s et l' sont les plans bissecteurs des dièdres suivant BD, le plan c' coupe AO^ au centre de la sphère ex-inscrite qui repose sur la face ABD. Enfin, le plan 7' coupe AO^ au centre de la sphère ex-inscrite qui s'appuie sur la face ABC.
Il reste à considérer les sphères tangentes aux seuls prolongements des faces. Ces sphères ne peuvent être contenues que dans les espèces de combles prismatiques ayant pour faîtes les arêtes du tétraèdre. Considérons les deux combles MCFNDE, GBIID'AC, qui se terminent aux deux arêtes opposées CD et AB. Le plan bissecteur $ coupera AO,, soit au-dessous du plan BCD, soit au delà de A et au-dessous de D'AC. Donc, s'il existe une sphère tangente dans l'un des deux combles répondant à deux arêtes opposées du tétraèdre, elle ne pourra pas exister dans l'autre. Par suite, les six combles prismatiques ayant pour faites les six arêtes du
