LIVBB TU. — LES CORPS BONDS

tétraèdre ne pourront renfermer que trois sphères tangentes ; ce qui conduit bien au nombre total de huit sphères tangentes indiqué plus haut.

Les trois dernières n'existeront pas toujours, car il peut arriver que le plan 9, par exemple, soit parallèle à la droite AO, : le centre de la sphère correspondante se transportant alors à l'inBni, elle cessera d'exister.

Soient a, b^ c, r/, les aires des faces du tétraèdre opposées aux sommets A, B, G, D, et Vson volume; soient r,, r„ r^, r^, r^, le rayon de la sphère inscrite et ceux des sphères ex-inscrites tangentes aux faces ft, r, d^ a. Joignons le centre de chacune d'elles aux sommets du tétraèdre, et exprimons son volume en fonction de ceux des quatre lélraèdres obtenus. Ces tétraèdres seront tous additifs pour la sphère inscrite; et pour chaque sphère ex-inscrite, celui qui repose sur la face à laquelle elle est tangente devient soustraclif, tandis que les autres restent additifs. On aura donc successivement

V= r^[ct-hb-hc^d), V= -r,(rt-f-c-hrf — ^),...,

d*où Ton déduira

^~~ a-\- b -^ c -^ d^ '~a-hc-hd—b^ ^"a-^b-^d—c

Toutes ces valeurs positives et finies, puisque chaque face d'un tétraèdre est plus petite que la somme des trois autres, prouvent de nouveau Texislence certaine des cinq premières sphères tangentes. On passe de la valeur de r, à l'une quelconque des autres, en changeant le signe de la face sur laquelle s'appuie la sphère ex-inscrite dont on cherche le rayon, parce que les cenlros de cette sphère et de la sphère inscrite sont de côtés différents par rapport à cette face et du même côté par rapport aux trois autres.

Soient maintenant p,, p.^, o^, les rayons des trois dernières sphères. Le centre de Tune d'elles, comparé à celui de la sphère inscrite, se trouve d'un même côté par rapport à deux des faces du tétraèJre et de côtés différents par rapport aux deux autres faces. Si la sphère considérée est dans le comble MCFNDE, on aura

si elle est dans le comble opposé GBHD'AC, on aura

24^. GfiOMÊTRIE DANS l' ESPACE.

De même, s'il 8*agit de la sphère située dans le comble LBHNDK oa dans soD opposé PCFfi'ÂD', on aura

V = ip,[(^ + ^/)-(« + 0] ou \ = Lp.^[(a-^c)^(b^d)l

Enfin, pour la sphère située dans le comble MCPLBG ou dans son opposé EDKB'AC, il viendra

y = lp.[{f^^c)-(a^f/)] ou V = ip,[(«-hrf)-(^^c)].

Il sera facile de dérider entre ces valeurs; car si l'on suppose que le^ quatre faces du tétraèdre, rangées par ordre de grandeur, donnent la série a, b, r, d, on aura

a-¥- b'^ c -i-fl, a-\-c'^b -\~dy

c'est-à-dire que les rayons des deux premières sphères auront les valeurs finies et positives

^' ~ (rt -f- ^) — (c -f- d) ' ''^ ~ (/, -H c) — (A -+- r/) *

Les autres valeurs de p. et de p,* étant négatives, devront être rejctées. Si la somme b-^ c n'est pas égale à la somme a + d, elle sera plus grande ou plus petite, et l'on n'aura aussi pour p, qu'une seule valeur finie et positive qui sera

P^ d^[[b-^c)-^[n-hd]y

On prendra en dehors de la parenthèse le signe -f- ou le signe —, suivant qu'on aura ^ h- c > ou <« h- r/.

Si ^ H- c = <3 -f- rf, p, est infini, et Tune des trois sphères seulement possibles disparaît.

Si Ion a à la fois a = b et r = d, auquel cas la condition précédenteest encore satisfaite, p, devient aussi infini, et des trois sphères seulefflent4)0S' sibles deux disparaissent.

Enfin, si l'on a à la fois a = b^ c= d, el a-^ b = c-^d, c'est-à-dire a=^ b = c = d^ ^^ devient infini comme p, et p,, et les trois sphères seulement possibles disparaissent toutes les trois.

En réaumé, lex huit sphères tangentes se réduisent à sept, si ia somme de deux des faces du tétraèdre est éf^ale à la somme des deux autres faces; elles se réduisent à six, si en outre chaque face du premier groupe est équivalente à une face du second groupe ; elles se réduisent à cin^y ^i les quatre faces du tétraèdre sont équivalentes.

923. Les plans proposés peuvent avoir quelques-unes de leurs intersections parallèles; ils peuvent être parallèles entre eux en tout ou en partie: