L1YRB TH. — LES CORPS RONDS

eo s'appuyant sur ce qui précède, il sera facile de traiter directement ces cas particuliers.

Complément de la théorie des figures inverses et de la méthode de transformation par rayons vecteurs réciproques,

92i. La déGnition du n' 380 s'applique à des points A, B, C , situés

d'une manière quelconque dans l'espace.

Le cercle d'inversion devient alors une sphère, et lorsqu'on fait varier le rayon de cette sphère sans déplacer son centre, les figures inverses de la figure donnée ainsi obtenues sont homothétiques (003) entre elles.

925. Un plan L et une sphère 0 quelconque peuvent être considértis comme deux figures inverses l'une de VaiUrc (381). La figure inverse d^un plan L est une sphère 0 passant par Vorigine; et la figure inverse d^une sphère 0, par rapport à l'un quelconque de ses points pris pour origine y est un plan L perpendiculaire au diamètre passant par l'origine,

926. Deux splières quelconques 0 et 0' peuvent être considérées comme deux figures inverses l'une de l'autre (382). La figure inverse d'une sphère O par rapport à un point S extérieur ou intérieur pris pour origine, est une autre sphère 0'.

927. L inverse d'une circonférence C par rapport à un point quelconque S fie l'espace pris pour origine est une autre circonférence C Car la circonférence C étant considérée comme Tinterseclion de deux sphères 0 et 0', son inverse est l'intersection des deux sphères 0' et (y, inverses des sphères 0 et 0,, c'est-à-dire un cercle.

Il résulte immédiatement de la définition des figures inverses que trois couples quelconques a et a*, b et b', c et c', de points correspondants de deux figures inverses sont situés sur une même sphère. Donc, une circonférence quelconque C et son inverse C appartiennent à une même sphère, et par suile (874) elles sont des sections anti-parallèles d'un même cône oblique qui a l'origine S pour sommet. De là le moyen de trouver le centre de la circonférence C inverse d'une circonférence C ; ce centre est (876) sur la droite qui joint l'origine S au sommet d'un cône auxiliaire y circonscrit suivant le cercle C à la sphère déterminée par la circonférence C et le point S.

928. La formule du n" 383 et sa démonstration subsistent. Quant au théorème du n*" 384, il s'applique aussi à deux lignes quelconques de l'espace, mais une nouvelle démonstration est nécessaire.

Et d'abord on démontre, absolument comme au n"" 384, en considérant (fig, 234) une ligne quelconque plane ou gauche MN et son inverse M'N', que leurs tangentes MT, M'T', font des angles égaux TMM', TM'M, avec le rayon vecteur SMM'. Cela étant, soient (fig. a35) deux

25o. g£ométrib dans l'espags.

courbes gauches MA el M/? qui se coupent en M^ et les courbes inverses M'A', M'tf'; il fiiut prouver que l'angle des deux premières, c'est-àdire Tangle /MT de leurs tangentes, est égal à l'angle rM'T des dei» autres. Or on a, d'après l'observa lioti précédente,

rMM'=/M'M, TMM'=TM'M;

donc le trièdre formé par les droites MM', MT, /w/, etletrièdre formé par les droites M'M, M'T, M'/, ont un angle dièdjre égal MM' compris entre deux faces égales chacune à chitcnne; ces deux triè.lres sont donc symétriques et, par suite, les troisièmes faces TM/, TM'/, sont respectivement égales.

929. V angle de deux surfaces F^f F„ en un point quelconque m de leur ligne d^ intersection amb, est égal à r angle sous lequel les surfaces inverses F' et Fj se coupent au point correspondant ni'.

En effet, menons par m sur les surfaces F et F, deux courbes mp et w/?, à angle droit sur la ligne d'intersection a wft; leurs inverses m'p'eim*p\ couperont (928) à angle droit la ligne a'm'b' commune aux surfaces F' et F,, et de plus l'angle des deux premières courbes mp et nip^ sera égal à celui de leurs inverses ni'p' et *''/?',. Or, l'angle des courbes mp et mp^ mesure l'inclinaison mutuelle des deux surfaces F et F, au point m, et l'angle de m'p' et de /;///, mesure l'inclinaison mutuelle des deux surfaces F' et F, au point correspondant ;;/.

930. Les lignes et 1rs surfaces inverses jouissent, relativement à la courbure, de propriétés très-importantes que nous ne pouvons pas développer ici. Nous renverrons sur ce sujet aux Mémoires déjà cités dans le n^SSô, et à un Mémoire de M. Hirst (Annales de Tortolini, t. il, i85g).

93i. Voici quelques applications des principes qui précèdent.

On nomme projection stéréographique d'une figure spliérique la perspective de cette figure faite en prenant pour point de vue S un point de la sphère, et pour plan de projection ou tableau le plan P du grand cercle dont le pôle est au point de vue S.

D'après les n*" 925 et 381 , on peut considérer le plan diamétral P comme rinverse de la surface sphérique, en prônant pour origine le point S et pour puissance le double du carré du rayon de la sphère. La projection stéréographique n est donc qu'un cas piirticulier de la transformation par rayons vecteurs réciproques, et l'on peut énoncer les propositions suivantes qu'on utilise dans la construction des mappemondes :

1* Les projections stéréographiques de deux lignes travées sur la sphère se coupent sous le même angle que ces lignes elles-mêmes ;

•i" La projection stéréographique d^un cercle de la sphère est un cercle dont le centre est la perspective du sommet du cône circonscrit à la sphère suivant le cercle proposé.

LIYBE TH. IJBS C0BP9 RONDS. 25 1 .

La projection stéréographique a été connue des Grecs: Ptolémée Ta décrite sous ie nom de planisphère ^ et les auteurs du moyen âge l'appelaient astrolabe, La construction du centre est due à M. Chasies.

932. On peut toujours transformer un groupe de trois sphères données en un groupe de trois autres sphères ayant leurs centres en ligne droite; le lieu de V origine ou du pôle de transformation est la circonférence qui coupe à angle droit les grands cercles des sphères données situés dans le plan des trois centres. En effet, il est évident que les pôles de transformation doivent être dans le plan des trois centres, et que tout revient à transformer les grands cercles situés dans ce plan en trois autres ayant leurs centres en ligne droite. Or, si l'on prend pour pôle un des points de la circonférence qui coupe orlhogonalement ces trois grands cercles, cette circonférence orthogonale se transforme en une drniie qui coupe à angle droit les transformées des circonférences données et qui, par suite, contient les rentres de ces transformées.

Cette remarque conduit immédiatement au théorème de Dupuis (920). En effet, transformons la figure de telle sorte que les trois sphères Qxes deviennent trois sphères ayant leurs centres en ligne droite; la sphère variable deviendra une sphère tangente aux transformées des trois premières ; et elle louchera évidemment chacune d'elles en un point dont le lieu sera un cercle perpendiculaire à la droite qui renferme les trois centres. Donc, en revenant à la figure primitive, et se rappelant que la transformée d un cercle est un cercle, on voit que le point de contact de la sphère variable décrit un cercle sur chacune des sphères fixes (Mann- HEIM, Nouvelles Annales de Mathématiques, i" série, t. XIX).

Figures tracées sur la sphère,