Rapport harmonique

Quatre points A, B, C, D, situés sur un arc de grand cercle, forment un système harmonique lorsque le rapport anharroonique (ABCD) est égal à — I .

Un faisceau de quatre arcs de grands cercles OA, OB, OC, OD, est harmonique, lorsque le rapport anharmonique (O.ABCD) est égala — i, c'est-à-dire lorsqu'on peut trouver un arc de grand cercle qui coupe le faisceau suivant un système de quatre points harmoniques; alors, tout autre arc de grand cercle transversal jouira de la même propriété (933).

Il résulte de là que si, par un point G de la surface sphèrique, on mène, à travers un angle AOB formé par deux arcs de grands cercles, diverses sécantes telles que ACB, et que Ton prenne sur chacune d'elles le point D conjugué harmonique de C par rapport au segment AB intercepté entre les côtés de l'angle, le lieu du point D sera Tare de grand cercle OD conjugué harmonique de OC par. rapport à Tangle AOB. Le point C et Tare de grand cercle OD sont dits pôle et polaire par rapport à Tangle AOB.

La proposition (334) relative au quadrilatère complet et la démonstration que nous en avons donnée subsistent pour la sphère ; il suffit de remplacer les mots ligne droite par arc de grand cercle, 11 en résulte un moyen simple de tracer sur la sphère : i** le quatrième harmonique de trois points d*un grand cercle ; :i° la polaire d'un point par rapport à un angle (335 et 336).