Pâle et polaire par rapport à un cercle de la sphère

Un point 0 et un petit cercle AEFB étant donnés sur la sphère ( fig, 477)1 si par le point 0 on mène un arc de grand cercle sécant OFE et qu'on détermine le conjugué harmonique 1 du point 0 par rapport à EF, If lieu géométrique du point I, lorsque l'arc OFE tourne aiUour du point 0, est un arc de grand cercle perpendiculaire au grand cercle OC déterminé par le point 0 et par le pâle C du cercle donné.

En effet, soit 0' le point où le rayon <k>0 rencontre le plan du cercle donné, les trois points E, F, 0', seront en ligne droite, et le faisceau des quatre rivons a>E, tal, a>F, »0', sera par hypothèse harmonique: donc, si r est le point de rencontre de EF et de a>I, le système rectiligne

LIYRB Vil. LBS CORPS RONDS. 253.

E, r^ F) O, sera aussi harmonique. Mais le lieu du point V est une droite KH située dans le plan ÂEB et perpendiculaire su diamètre O'BA (337), donc le lieu du point I est l'intersection de la sphère par le plan fr>KH ; c'ost donc un grand cercle perpendiculaire au grand cercle OC.

On dit que le point 0 est le p(Me du grand cercle HGK, et que ce grand cercle est la poUiire du point 0 par rapport au cercle ÂEB.

hemoi pôle a déjà reçu (911 ) une autre acception; mais il ne pourra jamais y avoir d'ambiguïté si Ton fait la convention suivante : quand nous emploierons le mot p6le dans le nouveau sens que lui attribue le théorème prérédent, il sera toujours suivi des mo\& par rapport au cercle considéré, tandis que lorsqu'il sera pris dans le sens primitif (911), ce mot ne sera suivi d'aucune indication.

Nous avons étudié avec détail au n*' 338 les positions relatives du point 0' et de la droite KH; le lecteur en déduira aisément les positions relatives du point 0 et du grand cercle KGH.

Quand le point 0' décrit une droite dans le plan ÂEB, on sait (339) que la droite KH tourne dans ce plan autour du pôle de relie droite ; mais alors le point 0 décrit un grand cercle, et le plan &>KH tourne autour du diamètre qui perce la sphère au pôle, par rapport à ÂEB, du grand cercle décrit par 0. Donc, les polaires de tous les points d'un grand cercle passent par le fjôle de ce grand cercle par rapport au cercle directeur ÂEB; et les pôles, par rapport au cercle directeur ÂEB, de tous les grands cercles qui passent par un point de la splière, sont situés sur le grand cercle polaire de ce point.

Le théorème du n*^ 3il , sa démonstration et ses conséquences (342, 343, 314) subsistent pour la sphère en remplaçant les droites par des arcs de grand cercle; il en résulte le moyen de construire sur la sphère la polaire d'un point par rapport à un cercle directeur donné.

Enfm, la méthode de transformation par les polaires réciproques (345 et suiv.) s'étend aussi aux figures sphériques. Le mode de transformation général par polaires réciproques dans l'espace contient comme cas par-

254* GfiOHÉTRIB DANS L* ESPACE.

ticulier )e mode de transformation spécial que nous avons exposé au ti^ 825 pour les figures sphériques, et dans lequel on fait correspondre à un triangle un triangle supplémentaire. Soient, en effet, une sphère de rayon R et un point A de l'espace situé à une distance d du centre u de la sphère; le plan polaire de ce point est un plan perpendiculaire à COA

Si

et situé à une distance de u égale k—r- Si le rayon K de la sphère tend

vers zéro, —j tend aussi vers zéro, et les plans polaires de tous les points

de la droite indéfmie &)A ont pour limite le plan unique mené par «> perpendiculairement à o>A. On peut, d'après cela, donner à ce plan le nooi de planfx>lnirc de la droite o^A par rapport à une sphère infiniment petite ayant w pour centre. Cela posé, si Ion a une figure formée de droites et de plans passant tous par un point w, on aura la figure corrélative en menant par «i des plans et des droites perpendiculaires aux droites et aux plans de la figure primitive. Sur la sphèrej à un grand cercle répondra son pôle, et inversement, de sorte que l'on retombe sur les figures supplémentaires du n^ 828.