LIVRE VII. — LES CORPS RONBS

demment en un point M' de XY, le point M où le rayon o>M' perce la sphère {ippartient à la fois aux trois gr»nds cercles dont les plans passent respectivement par les droites AB, A'B, XY. Cette propriété permet de construire sur la sphère Taxe radical de deux cercles.

Si le cercle sécant ABÂ'B' devient un cercle CGD tangent en C et D (fig. 479)» les arcs dw grand cercle BAM, B'A'M, deviennent des arcs de

grand cercle tangents MC et MD; ils sont d'ailleurs égaux comme tangentes sphériqucs menées d un même point M au cercle auxiliaire CGD ( 855 ). Donc l^ixe radical UV des deux cercles P et Q est le lieu des ptjints de Ut sphère d^tà Vnn peut leur mener des tangentes sphériques égales.

Le cercle CID, décrit du point M comme pôle, coupe orthogonalement les deux cercles P et Q; car il est à angle droit sur les arcs de grand cercle MC et MD. Donc l^axe radical des deux cercles P «r/ Q est sur la sphère le lieu des fjôles ou centres sphériques des cercles qui coupent orthogonalement les deux cercles V et Q,

Enfin, le plan du cercle CID est évidemment le plan polaire du point M' qui appartient à XY; et comme, quand le cercle orthogonal CID varie, son pôle M' décrit la droite XY, le plan de ce cercle CID passe constamment par la droite réciproque (913 ) de XY. Donc, lorsque deux systèmes de cercles se coupent orthogonalement sur la sphère^ les plans des cercles de chaque système passent par une droite, et ces deux droites sont réciproques par rapport à la sphère. Inversement, deux séries de plans passant par deux droites réciproques par rapport à une sphère tracent sur cette sphère deux .systèmes de cercles orth:)gonaux (*). Ajoutons que la

(*) L'étude du double système de cercles orthogonaux sur la sphère a des conséquences importantes relativement aux surfaces dont les lignes de courbure sont planes. (O. Bonnet, Journal de V École Polyteciinique, XXXV cahier. — PiCAKT, Esioi d'une tliéorie géométrique des surfaces, i863.)

droite réciproque de l'intersection des deux cercles P et Q est précisément la droite qui joint les sommets des deux cônes (874, 876) que l'ou peut faire passer par ces deux cercles. En effet, prenons pour plan de la figure le grand cercle (fig, 2i5, p. liiS) perpendiculaire aux deux cercles donnés qui sont alors représentés par les deux droites AA' etBB'; en joignant AB et A'B'^ puis AB' et BA', on aura les sommets N et 0 des deux cônes considérés, et comme la droite NO est (343) la polaire de rintersection M des deux droites AA'el BB',la perpendiculaire au plan de la figure élevée par le point M, c'est-à-dire la droite commune aux deux plans des cercles AA' et BB', aura pour réciproque NO (913).

I^s axes radicaux de trois cercles d'une sphère considérés deux à deux concourent en tin même point; car le rayon qui aboutit au sommet du trièdre formé par les plans des trois cercles perce la sphère en un point commun aux trois axes radicaux. Ce point prend le nom de centre rwJical des trois cercles.