II

droite, ainsi que S,, S', S', et que S,, S',, S". D'ailleurs, chaque sommet appartenant à deux droites différentes, les quatre droites sont situées dans un roème plan.

Les quatre grands cercles, qui renferment chacun trois centres de similitude, prennent le nom d'axes de similitude des trois cercles. Il y a u/t axe de similitude directe et trois axes de similitude inverse,

938. Cercle tangent à trois petits cercles donnés sur la sphère.

Le raisonnement et la construction sont les mêmes qu'au n*" 387, en remplaçant les droites par des arcs de grand cercle : il y a huit solutions. La méthode s'applique d'ailleurs à tous les cas particuliers qu'on obtient en supposant que les cercles donnés se réduisent à des points ou à des grands cercles.

Théorème de Guldin.

939. L'importante proposition connue sous ce nom se trouve indiquée dans Pappus (fin du iv* siècle). Elle a été ensuite retrouvée par Guldin (commencement du xiv" siècle).

THÉORÈME

Vaire engendrée par une ligne brisée phine quelconque^ tournant autour d'un axe extérieur quelconque situé dans son plan, a pour mesure le produit de la longueur de la ligne brisée par la circonférence que rlccrit son centre de gravité.

Nous savons que le centre de gravité d'une ligne brisée plane est le centre des distances proportionnelles des centres de gravité de ses côtés (713).

Si la ligne brisée se réduit à une droite ÂB, la proposition a déjà été démontrée (749), puisque le centre de gravité d'une droite est en son milieu (713).

Soit maintenant (^^.482) la ligne brisée plane quelconque MNPQR

Fîg. 483.

tournant autour de Taxe xy. Soient a, b^ c,..., les longueurs des côtés de cette 4igne; a, p, 7, . . . , les dislances des milieux A, B,C, . . . , deses côtés à Taxe xy. L'aire totale S, engendrée par la ligne brisée MNPQR,

LITEB VU. LBS C0EP8 RONDS. ftSg.

étant la somme des aires engendrées par ses côtés IfN, NP, . . . , on aura

S= <i.2ira-i- b.^7cp-h c.iir)f-^ . . , = 'iit(act-h bp -h cy -h ., .).

Si l'on désigne par z la distance à Taxe xy du centre des distances proportionnelles des points Â, B, C, . . . , on a (710)

a% -h ùp -h cy -h ... = z(rt-»-^-»-cH-...), d'où

S = (fl H- ^ H- r -4- . . . ) . 27r z,

expression de renoncé.

ConOLLAlRB. «

940. Le théorème subsiste, quels que soient le nombre et la grandeur des côtés de la ligne brisée, c'est-à-dire à la limite, quand il s'agit d'une ligne courbe en tout ou en partie. Le centre de gravité de la ligne obtenue est alors la position limite du centre de gravité de la ligne polygonale. Par suite, i^aire engenrirée par une ligne courbe plane tournant autour d'un axe extérieur quelcomiuc situé dans son planta pour mesure le prt)duit de sa longueur (289) par la circonférence que décrit son centre de gravité.

Applications.

941. i^ Quelle est l'expression de l'aire engendrée par une circonférence de rayon r, en tournant autour d'une droite xj tle son plan qui ne la coupe pas?

Soit d la distance du centre de cette circonférence à Taxe xj ; le centre d'une circonférence est évidemment son centre de gravité ; car, dans la recherche du centre des moyennes dislances, on peut remplacer plusieurs points par leur centre particulier [voir l'exercice 727), et le centre qui correspond aux extrémités d'un diamètre quelconque est le centre de la circonférence. L'aire de la surface engendrée, qu'on appelle /o/v,sera donc

27rr.27rr/= t^iî^rd.

2** Trouver la position du centre de grtwité d'une dcmi'Circonfértnce de rayon r.

Soit X la distance du point cherché au diamètre qui termine la demicirconférence. Si on la fait tourner autour de ce diamètre, elle engendrera une surface sphérique de rayon r. On devra donc avoir (798)

7rr.27rx OU 27r*/ur = 4^'*', d'oÙ j:= — •

Le centre de gravité cherché étant d'ailleurs, d'après une remarque précédente, situé sur le rayon perpendiculaire à Taxe, sa position est parfaitement déterminée.

26o. GÉOMtTRIE DANS l' ESPACE.

THÉORÈME

942. Le volume engendré par un triangle tournant autour <Vun nxe cxtt'ncur situé dans son pian, a />onr mesure le produit de rairr du triangle par la circonférence que décrit son centre de gravite.

Nous distinguerons trois cas.

1° L'un des côtés du triangle se confond avec l'axe [/ig, 483).

Fig. 483.

Le volume engendré par le triangle ABC tournant autour de Taxe jcy a pour expression (SOd-i*")

iTT.AD^BC,

c'est-à-dire, en désignant par S Taire du triangle dont le double est représenté par AD. BC,

Itt.AD.S.

Si G est le centre de gravité du triangle ABC, on a (714), pour la perpendiculaire GG' à Taxe,

Le volume engendré a donc finalement pour mesure

S.27r.GG'.

a* Le triangle n'a qu'un sommet situé sur Taxe [fg. 484).

Fig. 484.

X B ^G' g'QÎ ~ '[T'y

Prolongeons le côté AC jusqu'à sa rencontre en D avec Taxe xy. On aura vol. ABC = vol. ABD — vol. CBD.