LIVRE YII. — LES CORPS RONDS

Si g et gy sont les centres de gravité des triangles ÂBD et CBD, il viendra donc^ d'après le premier cas,

vol. ABC = air(ABD.^g^'- CBD..^,g'', ).

Le triangle ÂBC étant la diilérence des deux triangles ABD etCBD, son centre de gravité G est le centre des distances proportionnelles des points g, ^,, si Ton attribue aux trois points considérés des coefficients proportionnels aux aires des trois triangles correspondants, en donnant à ces coefficients les signes convenables (7i5). On aura par suite

ABD.^^'- CBD.^.g', = ABC.GG\ d'où

vol. ABC = ABC.aTrGG'.

3** L'axe est complètement extérieur au triangle (fig, 485).

Fig. 485.

Les trois côtés du triangle ne pouvant être parallèles à l'axe, prolongeons le côté AB, par exemple, jusqu'à sa rencontre en D avec l'axe jcy, et joignons CD. On aura

vol. ABC = vol. ACD - vol. BCD,

c'est-à-dire, d'après le second cas, en désignant par g et ^, les centres de gravité des triangles ACD et BCD,

vol. ABC = 27r( ACD.é'^' - BCD.^-,^', ).

Le triangle ABC dont le centre de gravité est G, étant la différence des triangles ACD et BCD, on aura comme ci-dessus

ACD.^^'- BCD.g',^. = ABC.GG', d où encore

vol.ABC = ABC.27rGG'.

THÉORÈME

943. Le volume engendré par un polygone tournant aiUour d'iui axe extérieur situé dans .son plan^ a /jour mesure le produit de son aire par la circonférence que décrit son centre de gravité.-

aBa. GÉ0HÉTR1B Dans l'espace.

Décomposons le polygone donné, dont Taire est S, en triangles ayant pour aires /,/',£*,.... Soient ^, S\ ^*, . . . , les distances des centres do gravité de ces triangles à l'axe, et d la dislance du centre de gravité du polygone (715) au même axe. Le volume engendré par le polygone, somme des volumes engendrés par les triangles qui le composent, est

Bfais, d'après les propriétés du centre des distances proportionnelles, la parenthèse est égale kS.d, Par suite, le volume cherché a pour expression

S.ÎÎT//.

CORROLLAIRB.

944. Le théorème subsiste, quels que soient le nombre et la grandeur des cétés du polygone, c'est-à-dire à la limite, quand le polygone ou une partie du polygone devient une courbe. Dans ce cas, le centre de gravité de la surface obtenue est la position limite du centre de gravité de la surface polygonale. Par suite, le volume engendré par une surface plane quelconque tournant autour d^un axe extérieur situé dans son plan, a pour mesure le produit de .son aire par la circonférence que décrit son centre de gravité,

Appucations.