Quel est le volume du tore

En conservant les notations du n"" 941 , ce volume a pour expression-

a* Trouver la position du centre de gravité d'un demi-cercle de rayon r.

Le centre de gravité cherché appartient évidemment au rayon perpendiculaire au diamètre qui termine le demi-cercle donné. De plus, si l*on fait tourner le demi-cercle autour de ce diamètre, il engendre une sphère de rayon r. On a donc, en appelant x la dislance du centre de gravité à l'axe,

airj: = :r7r/'% d OU x — 5— •

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La position du point demandé est donc complètement déterminée. Sur le maximum et le minimum des figures.

946. Nous nous proposons ici de prouver que, iletous les corps de même aire, la sphère est celui qui a le plus grand vohune,

LËMME.

Quand une figure plane possède deux axes de symétrie OA et OB faisant entre eux un angle a incommensurable avec ir, cette figure est un cercle.

LlVaB VII. ~ LES CORPS BONDS. ^63.

D'abord, la droite OC (fig, 486), symétrique de OA par rapport à OB, est un nouvel axe de symétrie; car, M étant un point quelconque de la figure et N son symétrique par rapport à OA, si Ton replie la figure autour de OB, les deux points M' et N', sur lesquels s'appliquent M et N, lui appartiennent encore à cause de la symétrie par rapport à OB, et ils sont symétriques par rapport à OC puisque OA s'applique sur OC.

Par suite, en faisant tourner OB de Tangle a autour du point 0, on obtient un troisième axe de symétrie OC; une nouvelle rotation de même amplitude a en donnerait un quatrième, etc. — D'ailleurs, a étant incommensurable avec 7r, on ne saurait trouver des nombres entiers m et // tels que ma = /iir; en d'autres termes, en continuant la rotation on ne retombera jamais sur un axe précédemment obtenu. Donc enfin la figure possède une infinité d'axes de symétrie passant par le point 0; d^oùl'on conclut que c'est un cercle.

Fig. 486. Fig. 487.

LEUHE.

947. Si par les milieux a^ b, c, ries arêtes latérales AA* , BB', CC, d'u/i tronc de prisme triangulaire , on mène un plan : i" les deux segments du tronc seront équivalents; a® la section abc sera en général moindre que la demi-somme des bases ABC, A'B'C.

La première partie est évidente d'après le n*" 653 ; quant à la deuxième, elle résulte de ce que la section abc est, comme on le voit aisément, égale à la demi-somme des projections des bases ABC, A'B'C, sur le plan abc.

11 résulte de cette proposition que si dans un corps terminé par une surface convexe on mène une série de cordes parallèles, la surface lieu des milieux de ces cordes divise le corps en deux parties d'égal volume et a elle-même une étendue moindre que la moitié de l'aire totale du corps,

THÉORÈME

948. a Parmi tous les corps de même surface, la sphère a le plus n grand volume ; et parmi tous les corps d^égal volume y elle a la plus » petite surface.

» Que l'on se représente un corps qui ait la propriété d'avoir le plus » grand volume parmi les corps de même surface, il existera évidemment » dans toutes les directions un plan qui divise la surface en deux parties » égales.

» Soit A un pareil plan [fig. 487], et soient a et ^ les moitiés de la » surface. Si le corps n'était pas divisé par ce plan en deux parties équi- » valentes en volume, si, par exemple, on avait a A > ^A, il ne pourrait » pas avoir un volume maximum ; car on pourrait remplacer ^ par une » partie symétrique de a, et le volume total aurait grandi sans que la » surface eût changé. Il faut donc que pk = «A. — Si, dans celte sup- » position, p n'était pas symétriquement égal à a, on n'aurait qu'à se » représenter du même côté de A que ^ une surface a, symétriquement » égale à a, et l'on aurait

a,A=aA=pA,

» et le corps aa, = a^. Que l'on mène dans les espaces compris entre » ^ et a, des droites parallèles entre elles, limitées par c«s surfaces, leurs » milieux se trouvent sur une troisième surface 7, qui a la même base » que ^ et a„ et l'on a

7A=pA=a,A, ou 7x = pa,

» mais en même temps (947) 27 < p -h a,, ou 7 < 6 puisque p = «,; la sur- » face 7 qui est plus petite que ^ limiterait donc avec a un espace équivalent » en volume à celui qui se trouve entre p et a, ce qui est contraire à » l'hypothèse; il faut donc que ^ soit symétriquement égal à a, et le » corps supposé a la propriété d'admettre pour plan de symétrie tout » plan qui divise sa surface en deux parties équivalentes (*).)>

Cela posé, considérons une droite quelconque D de l'espace, et par cette droite menons deux plans quelconques P, et Q, faisant entre eux un angle a incommensurable avec tt. Le corps maximum admettra deux plans de symétrie P et Q respectivement parallèles à P, et à Q, ; par suite, toute section du corps faite perpendiculairement à l'intersection des plans P et Q, c'est-à-dire perpendiculairement à la droite D, aura pour axes de symétrie les deux droites p et q suivant lesquelles le plan de cette section coupe les plans P et Q. Mais ces droites p et q font un angle a incommensurable avec tt ; donc cette section est un cercle ( 946), et comme la direction D est arbitraire, on voit que le corps maximum est coupé par un plan quelconque suivant un cercle; d'où l'on conclut que c'est une sphère.

(*) STEiSEn, Journal de Crelle, X, XXIV.

LIVBB VII. — LES GOBPS RONDS. 265.

OUEISTIOIVS PROPOSÉES.

§^lj n. — Cylindre et cône de révolution,

736. 1® Quel est le rapport des volumes de deux cylindres dont les aires convexes sont éq.uivalentes; 2° quel est le rapport des aires convexes de deux cylindres qui ont le même volume?

737. Les volumes engendrés par un rectangle tournant successivement autour de ses côtés adjacents sont de a mètres cubes et de b mètres cubes; trouver la longueur de la diagonale de ce rectangle.

738. Calculer Vaire convexe, l'aire totale et le volume d'un cône équilatéral en fonction de son côté. — Pour quelles valeurs de ce côté l'aire totale du cône est-elle un mèlre carré, et son volume un mètre cube?

739. Partager l'aire latérale d'un cône de révolution en n parties équivalentes par des plans parallèles à sa base.

740. La hauteur d'un tronc de cône de révolution étant S mètres et ses bases ayant pour rayons 2 mètres et i mètre, partager son volume en trois parties proportionnelles aux nombres 2, 3 et 7, par deux plans parallèles aux bases.

741. Le volume d'un tronc de cône de révolution étant 41*"*^, 328, sa hauteur i'",8i7, le rayon d'une de ses bases 2*°, 698, on demande de calculer à o^jooi près le rayon de sa seconde base.

742. Calculera 0,001 près le rapport que doivent présenter les rayons des bases d'un tronc de cône de révolution, pour que son volume soit ia moitié de celui du cylindre de même hauteur élevé sur la base inférieure du tronc.

743. Quel est le rapport des volumes engendrés par un parallélogramme tournant successivement autour de ses deux côtés adjacents?

744. Soit ABCDëF un hexagone régulier circonscrit à un cercle de centre 0 et de rayon R. On mène la diagonale FC et les droites AC et BF qui se coupent en I sur le rayon OH perpendiculaire à FC, et l'on demande de calculer, en fonction de R, les volumes et les aires des cônes engendrés par les triangles IHA, lOF, en tournant autour de OH pris pour axe.

745. Soit %'Q! la projection du diamètre BC d'un cercle OA sur la tangente TT' au point Â; chercher pour quelle position de BC le rapport du cercle OA à l'aire totale du tronc de Cône engendré par la rotation du trapèze BCB'C autour de TT', est égal à m ; discussion.

746. Calculer les rayons des bases d'un tronc de cône de révolution^ connaissant sa hauteur, son côté et son aire ou son volume.

747. Un tronc de cône de révolution d'une substance dont le poids spécifique est//^ est plongé verticalement dans un liquide dont le poids spécifique est d'-y les rayons de ses bases sont R et r, sa hauteur est A. On demande de calculer Ih hauteur de la partie immergée et le rayon de la section déterminée dans le tronc de cône par la surface de niveau du liquide.

748. Quel est le volume maximum d*un cône de révolution dont le côté est donné?

749. Parmi tous les cylindres ou tous les cônes qui ont même aire totale, quel est le cylindre ou le cône de volume maximum? — Parmi tous les cylindres ou tous les cônes équivalents, quel est le cylindre ou le cône d'aire totale minimum?

750. Inscrire dans un cône donné un cylindre de volume donné ; discussion. — Circonscrire à un cylindre donné un cône de volume donné; discussion.

§§ III, IV, V, VI. — Premières notions sur la sphère, — Aire et volume de la sphère. — Propriétés des triangles spliériques.

751 . Trouver le lieu des points qui sont à la distance a d'un point A et à la distance h d'un point B.

752. Par une droite donnée, mener un plan tangent à une sphère donnée.

753. Par une droite donnée, mener à une sphère donnée un plan sécant qui détermine une section de rayon donné.

754. Lorsque trois sphères se coupefit deux à deux, les plans des trois cercles d'intersection se coupent suivant une même droite perpendiculaire au plan déterminé par les centros des trois sphères.

755. Trouver le lieu des centres des sections faîtes dans une sphère donnée par tous les plans sécants qui passent par une droite donnée ou par un point donné.

756. Connaissant les rayons de deux sections parallèles faites dans une sphère et la distance de ces sections, trouver le rayon de la sphère.

757. Trouver la plus courte et la plus grande distance d'un point donné à une surface sphérique. — Trouver le lieu des points qui sont à une dislance donnée d'une sphère donnée.

758. Trouver la plus courte distance d'une droite donnée ou d*un plan donné à une Surface sphérique.

759. Si d*un point de la surface sphérique comme pôle on trace un cercle avec un rayon sphérique égal au cinquième ou au tiers d*un quadrant, le rayon du cercle obtenu est la moitié du rayon de la Sphère ou le plus grand segment de ce rayon divisé en moyenne et extrême raison.

LIYRS YIK — LB8 CORPS RONDS. ^67.

760. La somme des carrés des cordes interceptées par une sphère donnée sur trois droites rectangulaires partant d'un point donné est coq* stante, ainsi que la somme des carrés des six segments déterminés sur ces trois cordes par le point donné.

761. Trouver le diamètre do la sphère circonscrite à une pyramide triangulaire dont trois Taces sont perpendiculaires entre elles.

762. Si, d*un point de Tespace, on mène des sécantes à une sphère donnée, le produit des distances de ce point aux deux points d*interseclion de chaque sécante avec la sphère est constant.

763. Mener dans une sphère donnée trois cordes perpendiculaires en Ire elles, qui passent par un point donné et qui soient proportionnelles à des nombres donnés. — Mener dans une sphère donnée trois plans perpendiculaires entre eux, qui passent par un point donné et qui déterminent trois cercles dont les aires soient proportionnelles à des nombres donnés.

764. Si deux cercles de l'espace sont tels, que leurs centres soient les projections d'un même point et que les tangentes menées à ces cercles par un point de l'intersection de leurs plans soient égales, ces deux cercles sont situés sur une même sphère.

765. La somme des carrés des projections des trois rayons d'une sphère perpendiculaires entre eux sur un plan quelconque, est égale au double du carré du rayon de la sphère.

766. Étant données deux sphères solides, trouver la distance de leurs centres par une construction plane.

767. Trouver le lieu des points de l'espace dont le rapport des distances à deux points fixes est constant. —Trouver le lieu des points de l'espace également éclairés par deux lumières données.

768. Trouver le lieu des points dont la somme des carrés des distances à deux points donnés est constante. — Trois points étant donnés, trouver le lieu des points dont la somme des carrés des distances est à la fois constante par rapport au premier et au second point, par rapport au premier et au troisième.

769. Trouver le lieu des points d'où l'on voit une sphère donnée, deux sphères données ou trois sphères données, sous un angle donné.

770. Indiquer le lieu des points d'où l'on voit une droite donnée sous un angle donné, ou deux droites données issues d'un même point, sous des angles respectivement donnés.

771. Trouver le lieu des centres des sphères qui coupent deux sphères données ou trois sphères données suivant des grands cercles.

772. Quelle est la condition pour que quatre points de la surfoce sphèrique appartiennent à un même plan?