Construire une sphère

1° De rayon donné, qui passe par trois points donnés;

2*" De rayon donné, passant par deux points donnés et tangente à uo plan ou à une sphère donnée;

3** De rayon donné, passant par un point donné et tangente à dwis plans ou à deux sphères données;

4° De rayon donné, tangente à trois plans ou à trois sphères données:

5" De rayon donné, passant par un point donné et tangente à un pian et à une sphère donnés;

6"* De rayon donné, tangente à deux plans et à une sphère donnés;

7° De rayon donné, tangente à un plan et à deux sphères donnés.

774. Calculer en myriamètres carrés Taire de l'une des deux zones glaciales, sachant que le petit cercle qui lui sert de base est à aS'So'du po'e.

775. Dans une sphère de rayon donné, mener un plan sécant AIB tel. que le rapport de la calotte sphérique qu'il détermine à Faire latérale du cône qui a pour base le cercle AIB, et pour sommet le centre de la sphèn». soit«égal à m ; discussion.

776. Inscrire dans une sphère un cône dont Taire latérale soit équivalente à celle de la calotte sphérique terminée au même cercle.

777. Si Ton divise une demi-circonférence en trois parties égales et si on la fait tourner autour de son diamètre, la zone engendrée par Tare du milieu est équivalente à la somme des zones engendrées par les deu% arcs extrêmes.

778. Diviser une zone en moyenne et extrême raison par un plan parallèle à ses bases.

779. La calotte interceptée par une sphère fixe sur une sphère sécanie de rayon variable et qui passe toujours par son centre, a une aire constante. — La zone interceptée par deux sphères fixes concentriques sur une sphère sécante de rayon variable et qui passe toujours par leur centre commun, a une aire constante.

780. Placer sur le cercle générateur d'une sphère Tare générateur d'une zone dont on connaît Tare et la hauteur.

781. Placer sur une sphère donnée une calotte sphérique dont Taire soit double de celle engendrée par la corde de Tare générateur de 1» calotte.

78â. Couper une sphère par un plan tel, que Taire de la section soit égale à la différence des deux zones que ce plan détermine.

LIVRB YII. — LES COiPS RONDS. 269.

783. Un cylindre inscrit dans une sphère d'un mètre de rayon a pour aire latérale la moitié de Taire d'un grand cercle de la sphère : calculer son volume.

784. L*aire totale d'une chaudière cylindrique terminée par deux hémisphères est de a^ mètres carrés, toute section passant par l'axe a un périmètre de 6 mètres : calculer la hauteur et le rayon de la partie cylindrique de la chaudière; discussion.

785. Le poids d'un décimètre cube de fonte étant 7"*", 2, calculer avec la plus grande approximation possible le diamètre d'un boulet en fonte du poids de ai kilogrammes.

786. Ayant mené la droite qui joint les milieux de deux côtés d'un triangle, on le fait tourner autour de son troisième côté pris pour axe ; quel est le rapport cfes volumes engendrés par les deux parties du triangle?

787. Dans une sphère de rayon donné, mener un plan sécant AIB tel, que le rapport du segment à une base qu'il détermine, au secteur sphérique ayant pour base la même calotte sphérique. soit égal à ///; discussion.

788. On prolonge l'un des côtés a d'un triangle équilatéral d'une longueur égale à a et, par l'exlrémité obtenue, on élève une perpendiculaire à ce côté ; calculer le volume engendré par le triangle équilatéral en tournant autour de cette perpendiculaire.

789. Le volume engendré par un triangle tournant autour d'une droite de son plan qui lui est extérieure, a pour mesure le produit de son aire par la circonférence que décrit dans le mouvement de rotation le point de rencontre de ses trois médianes.

790. Étant donnée une série de cercles concentriques, on mène dans ces cercles des cordes toutes égales entre elles et parallèles à un diamètre commun : les volumes engendrés par les segments correspondants en tournant autour de ce diamètre sont équivalents.

79i. Étant donné sur une sphère de rayon R un cercle de rayon r, mener un second cercle parallèle au premier tel, que le rapport du segment compris entre ces deux cercles au cône qui a pour base le second cercle, et qui a pour sommet le centre du premier, soit égal à m ; discussion.

792. Les volumes d'un cône de révolution, d'une sphère et d'un cylindre de révolution, de môme hauteur, Sont proportionnels aux nombres i,a,3, lorsque le cône et le cylindre ont pour bases un grand cercle delà sphère.

793. L'aire totale ou le volume du cylindre équilatéral inscrit ou circonscrit à une sphère est moyenne proportionnelle entre Taire ou le volume de celte sphère et Taire totale ou le volume du cône équilatéral inscrit ou circonscrit.

794. Calculer en fonction de leurs côtés les aires et les volâmes engendrés par les polygones réguliers les plus simples, depuis le triante jusqu'au dodécagone, lorsqu'ils tournent autour d'un de leurs oôiés pri« pour axe. — Même question, en prenant pour axe de rotation une perpendiculaire menée à l'extrémité d'un des diamètres du cercle circonscrit qui aboutit à un sommet du polygone considéré.

795. On prend un point B sur le prolongement du rayon OA d*un cerde donné, et Ton mène par ce point au cercle la tangente BT; chercher poor quelle position du point B les aires décrites par la droite BT et Tare AT. lorsqu'on fait tourner la figure autour de Taxe OAB, sont dans un rapport donné; discussion.

796. Étant donné un triangle rectangle inscrit dans un demi-cercle, trouver le rapport du volume ou de Taire qu'il engendre, lorsque la figure tourne autour du diamètre du demi-cercle, au volume ou à l'aire de la sphère engendrée par ce demi-cercle. — Cas où le triangle rectangle donné est isocèle.

797. Inscrire ou circonscrire à une sphère donnée un cône ou un cylindre dont Taire totale ou le volume soit à Taire ou au volume de la sphère dans un rapport donné ; discussion.

798. La longueur de Taxe d'une chaudière cylindrique terminée par deux hémisphères étant donnée, calculer les dimensions de la partie cylindrique de manière que la capacité de la chaudière ait une valeur donnée; discussion.

799. Étant donné le volume d'un secteur sphérique appartenant à une sphère de rayon R, chercher le maximum de son aire totale.

800. On donne les volumes engendrés par un triangle en tournant suc^ cessivement autour de chacun de ses côtés ; calculer les trois côtés du triangle.

801. Construire un triangle, connaissant deux côtés et sachant que le volume engendré par ce triangle en tournant autour du troisième côté est égal à la somme des volumes qu'il engendre en tournant successivement autour des deux côtés donn^.

802. D'un point B extérieur à une circonférence 0, on lui mène deux tangentes BA, BC, et Ton projette le point de contact C sur le rayon OA en D; démontrer que, si Ton fdît tourner la figure autour de Taxe AOD, le volume engendré par le triangle mixtiligne ABC est équivalent au cône engendré parle triangle rectangle BAD,elle segment sphérique engendré par le triangle mixtiligne DAC, équivalent au volume engendré par le triangle BCD.

803. On donne un cône de révolution et deux sphères inscrites dans ce

LIYRB yil. — LB8 CORPS RONDS. 271.

cône et (angentes extérieurement Tune à l'autre; le volume compris entre le cône et les deux sphères proposées est la moitié du volume compris entre ce môme cône et la sphère qui passe par ses deux cercles de contact avec les sphères données.

804. Connaissant les latitudes et les longitudes de deux lieux de la surface terrestre supposée parfaitement sphérique, trouver» à Taide d'opérations exécutées sur un globe, la distance de ces deux lieux en degrés.

807S. Construire un triangle sphérique, connaissant :

1** Un angle, un côté adjacent et la somme ou la différence des deux autres côtés ;

2° Un côté) un angle adjacent et la somme ou la différence des deux autres angles;

S*" Deux côtés et la hauteur correspondante à l'un d'eux ;

4"* Un angle, un côté et la hauteur qui lui correspond;

5*^ Son aire, un angle et l'un des côtés adjacents.