Inscrire un cercle dans un triangle sphérique

807. Transformer un polygone sphérique en un triangle sphérique équivalent.

808. Trouver une aire plane équivalente à celle d'un triangle sphérique donné.

809. Si, dans un quadrilatère sphérique, les côtés opposés sont égaux: 1*^ les quatre angles du quadrilatère sont égaux, ses diagonales sont égales et se coupent mutuellement en parties égales, ses sommets sont dans un même plan et les cordes correspondantes forment un rectangle ; 2^ l'aire de ce quadrilatère a pour mesure quatre fois l'excès de son angle sur un droit.

810. Dans un losange sphérique, les diagonales se coupent à angle droit.

811. Deux triangles sphériques sont équivalents lorsque leurs triangles polaires ont même périmètre, et réciproquement.

812. L'enveloppe sur une même sphère des bases de tous les triangles sphériques qui ont un angle commun et môme périmètre est un cercle de la sphèro. — Même problème sur le plan.

813. Sur une même sphère, le lieu des sommets des triangles sphériques qui ont même base, et dont l'angle opposé à cette base est égal à la somme des deux autres, est un cercle de la sphère.

814. Dans tout polyèdre convexe, le nombre d'angles dièdres droits contenus dans la somme des angles dièdres, moins latnoitié du nombre d'angles trièdres trirectangles contenus dans la somme des angles po-

a<^2. GÉOMÉTRIE DANS l'eSPAGB.

lyèdres, est égal à deux fois )e nombre des faces du polyèdre dimînaé de deux.

81 S. Dans tout polyèdre convexe, la somme des angles polyèdres supplémentaires de ceux du polyèdre proposé est égale a huit angles trièdres trirectangles.

816. Si de chaque sommet d'un parallélipipède comme centre on décrit des sphères égales, toutes ces sphères réunies interceptent une portion du volume du parallélipipède égale à Tune d'elles.

817. Si P est le pôle d'un arc de grand cercle DE passant par les milieux D et E des côtés AB et AC d'un triangle sphérique BAC, l'angle BPC est le double de Tangle DPE.

818. Si trois petits cercles sont inscrits dans un triangle sphérique dont chaque angle est égal à lao degrés, de manière que chacun de ces cercles touche à la fois les deux autres et deux côtés du triangle, leur rayon sphérique est égal à 3o degrés et leurs centres sont les sommei< du triangle polaire du triangle donné.

819. Par un point donné sur la surface de la sphère, mener un arc de grand cercle qui rencontre un arc de grand cercle donné sous un angle donné; discussion.

§ VII. — Généralités sur les surfaces,

8^. Indiquer le lieu des points qui sont : i*" à la distance a d'une droite A et à la distance b d'une droite B; a° à la distance a d'une droite A et à la distance p d'un plan P ; 3° à la distance a d'une droite A et à la distance b d'un point B.

8âl. Étant donnés dans l'espace un point et une surface conique ou cylindrique de révolution, trouver la plus courte distance du point à ia surface.

8â2. Trouver le lieu des points dont les distances à un point donné et à une droite donnée passant par ce point sont dans un rapport donné.

823. Un point et deux droites passant par ce point étant donnés, trouver le lieu des points dont les distances respectives au point donné et aux droites données sont proportionnelles à trois longueurs données.

824. Mener un plan tangent à une surface cylindrique ou à une surface conique de révolution: i*" par un point donné de la surface; i"* par un point extérieur donné; 3"^ parallèlement à une droite donnée.

825. Étant donnés un nombre quelconque de plans et deux points A et B pris sur deux d'entre eux, trouver le plus court chemin qui conduit du point A au point B, sans sortir des plans proposés. — Application à