MF + MF

Supposons alors que te plan de la figure fasse une demi-révo> lulion autour de AA'. Dans ce mouvement, les foyers restent fixes, le point M vient dans la position symétrique M, el, comme le iriangle MFF' ne se déforme pas, on a

M.FH-M.F'=2a,

c'est-à-dire que le point M, appartient à l'ellipse. Donc, à loui point M de l'ellipse correspond un point M„ symétrique de M par rapporl à A A'.

28o. GfiOMÉTRlE DANS L'eSPACE.

Si le plan de la figure fait de même une demi -révolution autour de BB', les foyers ne font que s'échanger, le point M vient dans la posllion.symétrique M, et, comme le triangle MFF' ne se déforme pas, on a encore

M,F-f-MaF' = 2a;

ce qui montre qu'à tout point M de Tellipse correspond un autre point Ms de la courbe, symétrique de M par rapport à BB'.

Fig. 490. Fîg. 491. Fi0. 491.

2® L'autre partie de la proposition n'est qu'un cas particulier de ce théorème plus général : Quand une courbe possède deux axes rectangulaires xx' et yy\ leur intersection 0 est un centre de la courbe (fig» 490-

Soient M un point de la courbe, M' son symétrique par rapport au point 0, et N l'intersection des parallèles menées respectivement aux deux axes par les points M et M'. L'égalité des triangles rectangles MOP, OM'P', donne

MP = OF = PN et M'F = OP = P'N.

Le point N est donc à la fois symétrique de M par rapport à xx* et symétrique de M' par rapport à yy'. Or, le point N étant sur la courbe comme symétrique de M, le point M' en fait aussi partie comme symétrique de N. Donc, à tout point M de la courbe, correspond un point M' symétrique de M par rapport à 0.

11 résulte de là que le milieu 0 de la disunce focale FF est un centre de l'ellipse.

On peut d'ailleurs le démontrer directement comme il suit

Soient M un point de l'ellipse et M' son symétrique par rapport à 0; menons les rayons vecteurs de ces points. Les dia-