LIVRE YllI. — LES COURBES USUELLES. a8l

gonales MM' et FF' se coupant mutuellement en parties égales, le quadrilatère MFM'F' est un parallélogramme, et le point M' appartient à Tellipse en vertu de Tégalité des deux contours FMF'etFM'F'.

Corollaires.

953. On appelle longueurs des axes de Tellipse les longueurs A A' et BB' interceptées sur ces axes par la courbe {Jig.^SQ). La longueur du premier axe AA' est donc (951) égale à aa, la longueur du second BB' est représentée par 26.

La perpendiculaire BO [Jig. ^Sg) étant moindre que l'oblique BF =: a, on a

AA' est dit alors le grand axe et BB' le petit axe de l'ellipse.

Les extrémités A et A', B et B', des deux axes sont appelées les sommets de la courbe.

Le triangle rectangle BOF (^g. 489) donne a'=r fr'-h c», relation qui permet de déterminer Tune des trois quantités a^ b, c, lorsqu'on connaît les deux autres.

954. Quand on donne les longueurs a et b, il est facile de déterminer graphiquement les foyers. On n'a qu'à décrire de l'extrémité B du petit axe comme centre (Jîg. 489), avec un rayon égal à a, un arc de cercle qui coupe le grand axe aux deux foyers F et F'.

THÉORÈME

955. Suivant qu'un point est intérieur ou extérieur à V ellipse ^ la somme de ses distances aux deux foyers est plus petite ou plus grande que ia.

Fîg. 493.

Soit d'abord {Jig. 493) un point N intérieur à Teilipse. Joi

gnons ce point aux deux foyers, prolongeons F'N jusqu'à la rencontre de la courbe en M, et menons MF. Un théorème connu donne immédiatement

NF + NF<MF + MF' ou NF-f-NF'<2a.

Soit de même un poini N' extérieur à l'ellipse. Joignons ce point aux deux foyers; N'F' coupant la courbe au point M, menons MF. En s'appuyant sur le même théorème, on aura ici

• N'F-hN'F>MF-hMP ou N'F -1- N'F'>2«.

Corollaire.

956. Le théorème précédent, rapproché de la définîtfon de l'ellipse, fournit un critérium pour juger de la position d'un point quelconque du plan de la courbe par rapport à celle courbe supposée non tracée. Suivant que la somme des distances d'un point aux deux foyers est supérieure , égale ou inférieure à ia^ ce point est hors de la courbe, sur la courbe ou dans son intérieur.

957. La tangente à l'ellipse fait des angles égaux avec les rayons vecteurs du point de contact^ extérieurement à leur angle.

Prenons sur l'ellipse {fig* 494) deux points voisins M et M'; menons la sécante MM'S et les rayons vecteurs des deux points M et M'. Portons sur F' M une longueur FD = F'M' et sur FM une longueur FC = FM'. Le segment MD représente alors l'augmenlalion que subii le rayon vecieur mené du foyer F' quand on passe du point M au point M', et MC la diminution que subit le rayon vecteur mené du foyer F quand ori passe du même point M au même point M'; comme la somme des rayons vecteurs d'un point de l'ellipse reste constante, MD est égal à MC.

Cela posé, d'un point quelconque G de la sécante MM' S, menons aux droites M'D et M'C des parallèles GI et GH jusqu'à la rencontre des rayons vecteurs du point M. Le quadrilatère GHMI éunt semblable au quadrilatère M'CMD(213}, l'égalité de MD et de MC entraîne celle de MI et de MH.

Les droites GH et GI, étant parallèles aux bases WC et M'D des triangles isocèles CFM', DF'M', sont perpendiculaires aux