LIVRE YllI. — LES COURBES USUELLES

bissectrices de leurs angles au sommet. Mais à mesure que le point mobile M' se rapproche du point fixe M, la sécante MM'S se rapproche de la tangente au point M. Les bissectrices des angles CFM', DF'M', ayant alors pour limites les rayons vecteurs FM, F' M, du point M, les droites GH et GI ont ellesmêmes pour limites les perpendiculaires abaissées du point G sur ces rayons vecteurs. D'ailleurs, pendant ce mouvement, MH varie en restant toujours égal à MI.

Fig. 494. Fig. 495.

La tangente MX au point M (fig. 49^) doit donc être telle, que si, d'un point quelconque G de cette droite, on abaisse des perpendiculaires GH et GI sur les rayons vecteurs MF et MF' du point M, on ait MH = ML Les triangles recungles MGH, MGI, sont alors égaux, et il en est de même des angles GMH, GMI. La tangente à Vellipse est donc bissectrice de l'angle formé par l'un des rayons vecteurs du point de contact et le prolongement de Vautre rayon.

L'angle F'MT, étant l'opposé par le sommet de l'angle GMI, les deux angles GMH ou FMT et F'MT, sont égaux, ce qui vérifie le premier énoncé du théorème.

Corollaires.

958. La tangente à l'ellipse na quun point commun avec la courbe.

Abaissons du foyer F (yîgr. 49^) sur la tangente MT au point M, une perpendiculaire FK qui vient rencontrer en 9 le prolongement de F' M. La tangente étant bissectrice de l'angle FMcp, l'égalité des triangles rectangles FMK, 9MK, donne FK = cpK, c'est-à-dire que le point 9 est le symétrique

du foyer F par rapport à la tangente MT. L'égalité des mêmes triangles donne MF=:M9, et, par suite,

F'(p = MF-*-MF' = 2a.

Cela posé, la tangente étant perpendiculaire sur le milieu

de F 9, un point quelconque T, de cette droite est cquidistant de F et de 9. On a donc, d'après le triangle F'T.cp,

T,F-f.T.F':=Ta9-t-T.F' ou T»F -h T,F > F9 = 2a.

Tous les points de la tangente MT, sauf le point M, sont donc extérieurs à l'ellipse (956).

959. La tangente en un point d'une courbe peut couper la courbe en d'autres points; mais elle a nécessairement (111) avec la courbe, au moins un point commun de moins que les droites qui en ont le plus. De ce qu'on vient de démontrer, il résulte donc qu'une droite ne peut rencontrer l'ellipse en plus de deux points, c'est-à-dire que Vellipse est une courbe convexe,

960. Si l'on mène au point M [Jig. 495) une perpendiculaire MN à la tangente MT, les deux angles FMN, F'MN, sont égaux comme compléments d'angles égaux. Donc, la normale