LIVRE VIII. — LBS COURBES USUELLES. :i

à r ellipse est bissectrice de l* angle formé par les rayons vecteurs du point de contact,

La normale en un sommet de Tellipse se confond avec Taxe correspondant et la tangente est perpendiculaire à cet axe, de sorte que la courbe est inscrite dans le rectangle construit sur ses axes. •

Les rayons vecteurs d'un point de Tellipse, la normale et la tangente en ce point, déterminent sur une sécante quelconque quatre points conjugués deux à deux (193).

SCOLIE

961. Les propriétés précédentes justifient la dénomination de foyer. L'angle d'incidence et Fangie de réflexion étant égaux d'après une loi physique, les rayons lumineux, sonores ou calorifiques, qui partent de Tun des foyers F d'une ellipse, viennent, après leur réflexion sur la courbe, converger à l'autre foyer F'.

962. Le lieu des points symétriques 9 de l'un des foyers F de V ellipse, par rapport aux tangentes, est un cercle décrit de l'autre foyer F' comme centre, avec la longueur 2 a du grand axe pour rayon {Jig. ^çfi ).

Le premier alinéa du n** 958 renferme la démonstration de ce théorème.

On donne au cercle F' 9 le nom de cercle directeur relatif au foyer F'. L'ellipse a deux cercles directeurs correspondant à ses deux foyers.

ScOLlE.

963. Le lieu des points équidistants d'un cercle de centre F' et d'un point F intérieur à ce cercle, est une ellipse dont les points F et F' sont les foyers et qui a pour cercle directeur relatif au foyer F' le cercle donné [fig. ^q/q).

En effet, soit M un point du lieu. En le joignant aux deux points F et F' et en prolongeant F' M jusqu'à sa rencontre 9 avec la circonférence donnée, on a par hypothèse

M9=:MF, d'où MF-f-MF = F'9.

Pour construire le lieu, il suffit évidemment de joindre le

l86. GÉOMÉTRIE DANS l'eSPàGE.

point F à un point quelconque <p de la circonférence donnée, et d'éiever une perpendiculaire TTi sur le milieu K de la droite F 9; cette perpendiculaire coupe le rayon F' 9 en un point M du lieu, et elle est la tangente en ce point (957).

Le cercle directeur d'une ellipse peut donc servir à tracer la courbe par points, lo^squ'on connaît ses foyers et son grand axe. Ce nouveau procédé est plus long que celui indiqué au n*" 951 ; mais il a le grand avantage de donner en même temps la tangente en chaque point déterminé. On peut résumer cette construction comme il suit : Si d'un point F pris à Fintérieur d'un cercle F 9, on mène des droites aux divers points de sa circonférence^ les perpendiculaires élevées à ces droites par leurs milieux touchent ou enveloppent une ellipse, qui a pour foyers les points F et F' et pour grand axe le rayon F' 9.

THÉORÈME

964. Le lieu des projections des foyers d*une ellipse sur ses tangentes est la circonférence de cercle décrite sur le grand axe comme diamètre,

Fig- 497-

Soient {fig. 497 ) F et F' les deux foyers, K la projection du foyer F sur une tangente quelconque TTi, et 9 le symétrique de F par rapport à cette tangente. Le côté F'<p du triangle FF'cp étant égal à ^a (962), la droite OK qui joint les milieux des deux autres côtés est égale à a. Le point K appartient donc à la circonférence décrite sur le grand axe comme diamètre.

Réciproquement, tout point K de cette circonférence est la projection de Tun des foyers F sur une tangente. Car, si l'on prolonge FK d'une quantité K9 =:FK, on aura évidemment

Par suite, le point 9 appartient au cercle directeur relatif au

Le cercle OK est dit le cercle principal de Tellipse.

SCOLIE

965. Si le sommet d*une équerre décrit le vercle principal d'une ellipse, pendant que Vun de ses côtés passe constam^ ment par un foyer de la courbe, l'autre côté de V équerre lui reste toujours tangent. C'est là un nouveau moyen (963) d'obtenir Tellipse comme enveloppe de ses tangentes.

PROBLÈME