Mener une tangente à Vellipse par un point donné

1" Si le point donné M est sur la courbe, on le joint aux deux foyers [fig»^^), et Ton mène la bissectrice de Tangle FMI formé par l'un des rayons vecteurs MF et le prolongement MI de l'autre rayon MF' (957).

2" Si le point donné P est extérieur à Vellipse {Jig, ^gS), on remarque que la question serait résolue, si Ton connaissait le symétrique © de Tun des foyers F par rapport à la tangente cherchée; car on aurait dès lors cette tangente en abaissant de P une perpendiculaire TT, sur F9 : la droite TT, couperait d'ailleurs F'<p au point de contact M (963). Or, le point 9 se

Fig. 498. Fîg. 490.

irouve à la fois sur le cercle directeur relatif au foyer F' (962) et sur le cercle de centre P et de rayon PF.

a88. GÉOMÉTRIE DAMS l'eSPACB.

Ces deux cercles se coupent toujours quand le point P est extérieur à Tellipse. En effet, PF' étant la distance des centres, PF et aa les deux rayons, le triangle PFF' donne

PF' < PF -h FF' et, à fortiori , PF' < PF -4- a/i.

Le point P étant extérieur à la courbe, on peut avoir PF> ou <; aa. Si PF est moindre que ia, on a

PF-f-PF>2û, d'où PF'>2a-PF.

Si PF est plus grand que 2a, le triangle PFF' permet de poser

PF' > PF — FF' et, à fortiori , PF' > PF — 2«.

Ainsi, la construction précédente réussit toujours quand le point P est extérieur à la courbe; et comme les circonférences tracées se coupent en deux points 9 et Oi, il y a deux solutions.

Corollaires.

967. Cherchons la condition pour que les deux tangentes menées du point P à Tellipse soient à angle droit.

Si les deux tangentes TT„ TT,, menées du point P, sont à angle droit (fig. 499 )> comme elles sont respectivement perpendiculaires sur le milieu des droites F9, Ff ,, l'angle ^Fq, de ces deux droites doit être lui-même un angle droit. Cet angle étant inscrit dans la circonférence PF dont le centre est P, la droite 991 est un diamètre de cette circonférence, et P est le milieu de ce diamètre.

Le lieu des points P est donc le lieu décrit par le milieu de la corde interceptée dans le cercle directeur relatif au foyer F', par un angle droit tournant autour de son sommet fixe F. Or si Ton joint le point P aux foyers F et F', on a P9 = PF, et le triangle rectangle F'P9 donne alors

PF' -f-P9 =PF' -hPF =F'9 =4/1'.

Lst somme des carrés des distances du point P aux points F et F' étant constante, le lieu cherché est une circonférence de cercle concentrique à rellipse et qui a pour rayon la médiane OP du triangle PFF' (232). Comme les sommets du rec-

langle construit sur les axes et circonscrit à Tellipse (960) font nécessairement partie du lieu, le rayon OP est égal à la demi-diagonale de ce rectangle, c'est-à-dire à sjà!^ -^ *^.

968. Les tangentes PM, PM', menées à V ellipse par un point extérieur V^ font des angles égaux avec les droites qui vont du point P aux deux foyers ; la droite qui va du point P à l'un des foyers est bissectrice de l'angle formé par les rayons vecteurs qui vont de ce foyer aux deux points de contact M etW(fig.5oo).

Fig. 5oo.

Menons les deux cercles directeurs de Tellipse. 9 étant le symétrique de F par rapport à la tangente PM et 9' le symétrique de F' par rapport à la tangente PM', les deux triangles PF9' et PF'cp sont égaux comme ayant leurs trois côtés égaux, chacun à chacun. Les angles FP<p' et F'Pç sont donc égaux. Si Ton enlève la partie commune FPF', les restes FP9, F'Pç', sont égaux, ainsi que leurs moitiés MPF, M'PF'.

En second lieu, l'égalité des triangles PF(p',PF'(p, entraîne celle des angles PF9', PcpF'. Mais les deux triangles PM9, PMF, étant égaux, langle PcpF' est aussi égal à Tangle PFM, et la droite PF est la bissectrice de Tangle MFM'.

PROBLÈME

969. Mener à l'ellipse une tangente parallèle à une droite donnée.

Tout revient encore à trouver le point symétrique 9 de l'un des foyers F par rapport à la tangente cherchée. Or, ce point esta l'intersection du cercle directeur relatif au foyer F' (962) et de la perpendiculaire menée du foyer F sur la droite don-

ago. UtOMÉTSIB DANS l'bSPACS.

née DD' {Jig, 5oi). Celle perpendiculaire coupe loujours le cercle F' en deux poinis 9 el 91, puisque le poinl F esl inlérieur à ce cercle. Les perpendiculaires TT, el TT^ élevées aux droiies F9 el F9, par leurs milieux sonl les langenies demandées, el leurs poinis de conlacl M el M' sonl à leurs renconlres respeciives avec les rayons F' 9 el F' 9, (963).

Fig. Soi. Fig- 5oa.

Corollaires.

970. Les deux poinis de contact M et M' des deux tangentes parallèles TT,, T'T^, sont symétriques par rapport au centre 0 de V ellipse.

En effel, les Iriangles FM9, FM'9,, 9F'9„ sonl des iriangles isocèles ayanl lous un angle égal à la base; ils sonl dès lors semblables el onl leurs côiés parallèles. La figure MFM'F' élanl un parallélogramme, la diagonale MM' passe par le milieu 0 de la diagonale FF' el y esl divisée en deux parlies égales.

Inversemeni, les tangentes menées à l'ellipse en deux points 'symétriques par rapport au centre sont parallèles. Car le quadrilalère MFM'F' élanl dans ce cas un parallélogramme» puisque ses diagonales se coupent en parlies égales, les angles FM 9, FM^9. onl leurs côtés parallèles el sonl égaux. 11 en est donc de même de leurs moitiés (957) FMT, 9,M'T', ce qui entraîne le parallélisme des langenies MT, M'T', aux points M et M'.

LITRE VIII. — LBS GOURBBS USUELLES. 29 1.

971. La propriété précédente appartient d'ailleurs à toutes les courbes à centre. Dans toute courbe à centre^ les tangentes en deux points M et M% sjTné triques par rapport au centre 0, sont parallèles ety par suite ^ équidistantes du centre.

£n effet, si N (Jig, Soi) est un point de la courbe voisin de M, et N' son symétrique par rapport à 0, Tégalité des triangles MON, M' ON', prouve le parallélisme des cordes ou sécantes MN, M'N', et leur égale distance au centre. Quand N tend vers M, N'^ tend vers M\ Les deux sécantes tournent donc à la fois autour des points M et M', de manière à devenir ensemble tangentes, en restant toujours parallèles et équidistantes du centre.

972. Les points K et K' [Jig. 5oi ) appartiennent au cercle principal de Tellipse (964). Les deux segments FK, FK', étant alors ceux d'une corde quelconque de ce cercle passant par le foyer F, leur produit est constant. On peut donc dire que le produit des distances d'un foyer à deux tangentes parallèles est constant. Si Ton mène par le foyer F' la corde LL' du cercle principal qui est parallèle à KK', on a évidemment FK'= F'L, On peut donc dire aussi que le produit des distances des deux foyers à une même tangente est constant. Si Ton veut connaître cette constante, il suffit de considérer la tangente à Tune des extrémités du petit axe, et Ton obtient immédiatement le carré du demi-petit axe ou b^ pour sa valeur.

SCOLIE

973. Les constructions des n""' 966 et 969 n'exigent pas que la courbe soit tracée; il faut seulement qu'elle soit définie par ses deux foyers et la longueur du grand axe.

PROBLÈME

974. Étant donnés les foyers F et ¥ et le grand axe AA' d'une ellipse, déterminer ses points de rencontre avec une^ droite DW{Jig.5o3).

Supposons le problème résolu, et déterminons le symétrique 9 du foyer F par rapport à DD'.M étant l'un des points de rencontre de la droite DD' avec l'ellipse, on aura M9 = MF. Prolongeons F'M d'une longueur MG = MF; F'G sera égal

29^. GËOMËTRIE DANS l'kSPACB.

à AA', et le point G appartiendra au cercle directeur relatif au foyer F'. Le cercle décrit du point M comme centre avec MF pour rayon passe donc par les deux points F et 9 et est tangent au cercle directeur F' G. La question est ainsi ramenée à trouver le centre M d'un cercle passant par deux points donnés F et 9 et tangent à un cercle donné F' G. Nous avons résolu ce problème (262, a*»).

Fig. 5o3.

Comme le foyer F est intérieur au cercle directeur relatif au foyer F', il y aura évidemment deux solutions, une seule ou zéro, suivant que le point 9 sera lui-même intérieur, commun ou extérieur au cercle directeur F' G. La droite DD' sera donc sécante, tangente ou extérieure à Tellipse, dans les mêmes conditions.

Corollaire.

975. Une droite ne pouvant rencontrer une ellipse en plus de deux points, l'ellipse est une courbe convexe (959).

§ n. - PROPRIÉTÉS FONDAMENTALES DE L'HYPERBOLE.

976. \Jhjrperbole est une courbe plane telle, que la différence des distances de chacun de ses points à deux points fixes de son plan est égale à une longueur constante. Ainsi (Jig. 5o4]» les deux points fixes étant F et F' et la longueur donnée étant représentée par la droite AA', on aura pour tout point M de l'hyperbole