On peut aussi tracer Vhyperbole par points {Jig. 5o

Fig. 5oj.

En effet, marquons le milieu 0 de la distance focale FF' et» de part et d'autre du point 0, prenons OA = 0A'= a, puis un point K quelconque sur le prolongement de OA. Si des points F et F' comme centres, avec des rayons respectivement égaux à AK et à A'K, nous décrivons des arcs de cercle, leurs points d'intersection M et M' appartiendront à l'hyperbole, car on aura

MF'-MF = M'F'-M'F = A'K-AK = 2a.

LITRE Ylll. — LES COUEBBS USUELLES. 1^.

La distance des centres FF' étant toujours plus grande que la diflërence ^a des rayons» il suffit, pour rinterseciion des deux circonférences, que cette distance soit moindre que ta somme des rayons, c'est-à-dire qu'on ail

FF'<AK-hA'K ou ac<aAK4-^«.

La condition cherchée est donc

AK>c-a ou AK>AF.

Comme on peut échanger les centres sans modifier les rayons, chaque point K permet d'obtenir quatre points M et M', N et N' de l'hyperbole. Le point K doit seulement être au delà du point F, sans que rien limite sa position à droite de ce point. Ce que nous venons de dire résulte d'ailleurs de la symétrie de l'équation de condition MÏ''--MF =ifc2a, par rapport aux deux rayons vecteurs.

Si le point K est en F, les points correspondants de l'hyperbole sont les points A et A'. Le rayon vecteur minimum est c — a; il n'y a pas de rayon vecteur maximum, puisque les rayons vecteurs d'un point de la courbe peuvent croître jusqu'à l'infini.

THÉORÈME

979. r hyperbole a: i^ pour axes, la droite kk' qui passe par ses deux foyers^ et la droite BB' perpendiculaire au milieu de la première; 2® pour centime, l* intersection 0 de ces deux droites {fig. 5o5 ).

Même démonstration que pour l'ellipse (952), en considérant la différence des rayons vecteurs au lieu de leur somme.

COBOLLÀlRE.

980. Des deux axes AA' et BB' le premier seul rencontre la courbe. L'axe AA' est dit l'axe transverse de l'hyperbole, l'axe BB' est dit son axe non transverse. Les extrémités A et A' de l'axe transverse sont les sommets de la courbe.

THÉORÈME

981. Suivant qu'un point est intérieur ou extérieur à l'hyperbole, la différence de ses distances aux deux foyers est plus grande ou plus petite que ia (Jig, 5o6 J.

2^6. ' GÊOMfiTSIB DANS l'bSPAGE.

Le point N étant intérieur, joignons-le aux deux foyers. NF' coupant au point M la branche de courbe qui correspond au

Fîg. 5o6.

foyer F, on a

NF<MN-f-MF, d'où NF'- NF>NF'-MN - MF,

c'est-à-dire

NF'-NF>MF' ou aa.

Le point N' étant extérieur, joignons -le aux deux foyers- F'N' prolongé coupant au point M la brunche de courbe qui correspond au foyer F, on a

N'F-hMN'>MF, d'où MF'- N'F - MN'<MF-MF,

c'est-à-dire

Corollaire.

982. Ce théorème, rapproché de la définition de la courbe, fournit lyi critérium pour juger de la position d'un point quelconque de son plan par rapport à l'hyperbole supposée non tracée. Suivant que la différence des distances du point considéré aux deux foyers est inférieure, égaie ou supérieure à 2 a, ce point est hors de la courbe, sur la courbe ou dans son intérieur,

THÉORÈME

983. La tangente à l'hyperbole est la bissectrice de Vangle formé parles rayons vecteurs du point de contact (Jig, 507 , 5o8 ).

Même démonstration que pour l'ellipse (957), en remarquant que dans l'ellipse les rayons vecteurs d'un même point

LIVRB VIII. ~ LES GOU&BBS USUELLES. 297.

varient en sens contraires» tandis que dans l'hyperbole ils varient dans le même sens.

98i. Régiproqueiient» la courbe dont la tangente fait des

angles égaux^ extérieurement ou intérieurement, avec les

rayons vecteurs menés du point de contact à deux points fixes,

est une ellipse ou une hyperbole dont ces points fixes sont les

foyers.

Fîg. 5o7-

En effet, si Ton abaisse d'un poinl G de la tangente MT [fig* 507) des perpendiculaires GH et GI sur les rayons vecteurs du point M, les triangles rectangles ainsi formés seront égaux, puisque la tangente est par hypothèse la bissectrice de l'angle HMI; on aura donc MH = MI.

Considérons maintenant la sécante MM'S(^g.5o8) qui

Fîg. 5o8.

coupe la courbe en M et en M', et portons les rayons vecteurs du point M' sur ceux du point M en FC et en F' D. Si Ton mène alors, d'un point G quelconque de la sécante Jcs parallèles GH et GI à M'C et à M'I), les quadrilatères M'CMI), GHMI, seront semblables, et l'on aura constamment