MC MD

MH Ml'

Mais à la limite, quand le point M' vient en M, la sécante

tigB' GtQHÉTRIB DANS l'bSPAGB.

MM' S est remplacée par la tangente MT, et l'on a MH = III.

MC Donc, la limite du rapport -^ est aussi Tunité.

Or, si les deux rayons vecteurs varient en sens contraires, MD étant la diminution du premier, MC est raugmentailon égale du second, et la courbe est une ellipse^^ puisque la somme des rayons vecteurs d'un même point demeure constante. Si les deux rayons vecteurs varient dans le même sens, MD étant l'augmenution de Tun, MC est l'augmenution égale de l'autre, et la courbe est une hyperbole, puisque la différence des rayons vecteurs d'un même point demeure constante.

Corollaires.

985. Tous les points de la tangente MT, sauf le point M, sont extérieurs à V hyperbole qui est y par suite j une courbe convexe.

Même démonstration que pour l'ellipse (958), en remplaçant la somme des rayons vecteurs par leur différence.

SI l'on mène au point M (fig, Sag] une perpendiculaire MN à la tangente MT, les angles FMN, LMN, sont égaux

Fig. 509.

comme compléments d'angles égaux. Donc, la normale à l'hyperbole est la bissectrice de l'angle formé par l'un des rajrons vecteurs du point de contact et le prolongement de l'autre rayon.

La normale en un sommet 'de l'hyperbole se confond avec

LIYRB TIIl. — LBS COURBES USUELLES. 299.

l'axe iransverse, el la tangente est perpendiculaire à cet axe.

La tangente, la normale el les rayons vecteurs menés en un même point de la courbe rencontrent une sécante quelconque en quatre points conjugués deux à deux (193).

Si une ellipse et une hyperbole ont les mêmes foyers ou sont confocaleSy elles se coupent à angle droit; car, en l'un quelconque des points d'intersection, la tangente de Tune est la normale de l'autre (957, 960).

987. Dans le cas de l'hyperbole, les rayons lumineux, sonores ou calorifiques, qui partent de l'un des foyers F, s'éloignent de plus en plus de l'autre foyer F' après leur réflexion sur la courbe ; mais toutes leurs directions prolongées viennent y converger.

» THÉORÈME

988. Le lieu des points symétriques <p de Vun des foyers F par rapport aux tangentes est un cercle ( directeur) décrit de l'autre foyer F' «cec la longueur na de Vaxe transverse pour rayon (fig. Sog). #

Le lieu des points équidistants d'un cerf le de centre F' et d'un point F extérieur à ce cercle est une hyperbole dont les foyers sont les points F et F', et dont le cercle directeur relatif au foyer F' est le cercle donné.

Même démonstration que pour l'ellipse (962, 963), en remplaçant toujours la somme des rayons vecteurs par leur différence. L'hyperbole a, comme l'ellipse, deux cercles directeurs.

Corollaire.

989. Ce théorème fournit une nouvelle construction par points (978) de l'hyperbole, qu'on peut résumer comme il suit: *S£, d'un point F pris à l'extérieur d'un cercle F', on mène des droites aux divers points de sa circonférence, les perpendiculaires élevées à ces droites par leurs milieux enveloppent une hyperbole qui a pour foyers les points F et F' et pour axe transverse le rayon du cercle F'; les points de con-tact de ces tangentes sont à leurs rencontres avec les prolon- * gements des rayons du cercle F' qui correspondent aux points considérés.

3oo.

GfiOMÉTRIB DAMS l'bSPÀCE.

THÉORÈME

990. Le lieu des projections des foyers d'une hyperbole sur ses tangentes est la circonférence décrite sur l'axe trans^ verse comme diamètre (Jig. 5io).

Fig. 5 10.

Fig. 5ii.

Même démonslralion que pour l'ellipse (96&'). Le cercle obtenu est dit le cercle principal de Tl^perbole.

Corollaires.

991. Soient {Jig. 5io) la tangente MT, les rayons vecteurs MF, MF', de son point de contact, cp le symétrique du foyer F par rapport à la tangente MT, K la projection de ce foyer sur la tangente. Les rayons OK et F'9 du cercle principal et du cercle directeur relatif au foyer F' restent toujours parallèles entre eux pendant que, le point 9 parcourant le cercle directeur, la droite F 9 tourne autour du foyer F (989, 990). Au moment où celte droite devient tangente au cercle directeur, elle le devient donc aussi au cercle principal (252); soient 9 et K ses points de contact avec ces deux cercles {Jig. 5i i ). La tangente à Thyperbole qui passe par le point K^ étant perpendiculaire à F9, n'est alors autre chose que le prolongement du rayon OK et devient parallèle au rayon F'9, de sorte que son point de contact M s'éloigne à rinfinl (989). La droite OKM ainsi obtenue, qui louche la branche supérieure de la demî-hyperbolededroiteàrinOni,eslappeléea57m/?/o/ede l'hyperbole.

La seconde tangente commune menée au cercle principal et au cercle directeur F' par le foyer F correspond à une seconde

LITRB VIII. — LES COURUS CSUBLLBS. 3oi.

asymptote OK'M', qui louche à Tinfini la branche inférieure de la demi-hyperbole de droite.

Les droites OKM, OK'M', étant également inclinées de part et d'autre de Taxe transverse, si Ton fait faire à l'hyperbole une demi-révolution autour de son axe non transverse, les foyers ne font que s'échanger ainsi que les deux demihyperboles, de sorte que le prolongement OM, de la droite OKM esl asymptcfle à la branche inférieure de la demi-hyperbole de gauche, tandis que le prolongement OM'. de la droite OK'M' est asymptote a la branche supérieure de cette demihyperbole.

En résumé, l'hyperbole a pour asymptotes les deux droites indéfinies tracées par son centre, parallèlement aux rayons du cercle directeurF' qui correspondent aux tangentes communes menées du foyer F au cercle ¥' et au cercle principal de la courbe. Ces droites ^ont d'un grand secours pour la construction de l'hyperbole, puisqu'elles font connaître les directions vers lesquelles tendent ses branches infinies.

992. Soient (fig. 5i2) les asymptotes xx*, yy\ de l'hyperbole dont les foyers sont F et F' et les axes AA' et BB'. Menons

Fig. 3iQ.

au point A la perpendiculaire AC à Taxe transverse, jusqu'à la rencontre de l'asymptote yy\ D'après ce qui précède, si l'on abaisse aussi FK perpendiculaire sur rj', on aura OK = tf. Les deux triangles rectangles OAC, OKF, sont donc égaux, et

OC = OF = c. On voit que a et c étant donnés, on en déduit AC; de même a et AC étant connus, on en déduit c.

Achevons le rectangle CC'D'D. Par analogie avec l'ellipse (953), la longueur BB' = 2 AC ainsi déterminée est appelée la longueur de l'axe non transvene de Thyperbole, et on la représente par 26. Remarquons que le parallélogramme ABA'B' a ses côtés parallèles aux asymptotes.

Les trois longueurs a, 6, c, sont liées entré elles par la relation c*=:a*-h 6*. Elles sont liées dans l'ellipse par la relation c* = a*— 6', qui ne diffère de la précédente que par le changement de 6' en — 6'. Por suite, les propriétés de l'ellipse et de l'hyperbole qui ne dépendent que des longueurs de leurs axes^ se déduisent^ les unes des autres par le simple changement de b* en — 6*.

993. Lorsqu'on donne les longueurs des axes de l'hyperbole, il est facile de déterminer graphiquement les foyers. On n'a qu'à élèvera l'extrémité A de l'axe transverse une perpendiculaire AC = 6 (yîg. 5i2)et à décrire du point 0 comme centre, avec OC pour rayon, une circonférence qui coupe l'axe transverse aux deux foyers F et F'. On trouve en même temps l'asymptote OC et sa symétrique OC (992).

994. On appelle hyperbole équilatère une hyperbole dont les deux axes ont la même longueur. Le rectangle CC'D'D [Jig- 5i2) devenant alors un carré, on voit que les asymptotes d'une hyperbole équilatère sont à angle droit l'une sur l'autre,

995. On entend par hyperboles conjuguées deux hyperboles qui, ayant les mêmes axes et, par suite, le même centre, la même distance focale et les mêmes asymptotes, sont situées par rapport à ces asymptotes dans des angles différents; c'est-à-dire que l'axe transverse de l'une est l'axe non transverse de l'autre, et réciproquement (^g^. 5i2).

Deux hyperboles conjuguées ne sont identiques et ne peuvent se substituer l'une à l'autre par un quart de révolution, que lorsqu'elles sont équilatères (994).

PROBLÈME

996. Mener une tangente à V hyperbole par un point donné. Mêmes procédés que pour l'ellipse (966).

llyrb yiu. — les coubbes usuelles. 3o3.

Corollaires.

997. Le lieu des sommets des angles droits circonscrits à r hyperbole est une circonférence concentrique à la courbe et ayant pour rayon yja* — b^ (967, 992).

La démonstration directe est la même que pour Tellipse. Seulement, la question revient ici à chercher le lieu des milieux des cordes interceptées dans le cercle directeur relatif au foyer F', par un angle droit dont le sommet F lui est extérieur. Le problème peut alors être impossible, et le lieu cesser d'exister, si Ton a a < 6.

La tangente de Tangle aigu formé par l'asymptote Oy avec

l'axe transverse étant représentée par -î le problème est impossible quand cet angle est supérieur à 4^ degrés ou quand l'angle yOx des deux asymptotes [Jig. 5 12) est obtus; il est possible, au contraire, quand cet angle est aigu.

En effet, l'angle des deux asymptotes est précisément (991) le supplément de celui des deux tangentes qu'on peut mener au cercle directeur F' par le foyer F. Or, ce n'est que lorsque l'angle de ces deux tangentes est obtus, que les deux côtés de l'angle droit dont le sommet est^n F peuvent rencontrera la fois le cercle F'.

Lorsque l'angle des asymptotes est droit, celui des deux tangentes menées du foyer F au cercle directeur F' est aussi droit, et il n'y a pas d'autre angle droit circonscrit à l'hyperbole que celui de ses asymptotes. Ce résultat limite est d'ailleurs évident, car la courbe étant alors équilatère (99ï), on a a = 6, et le lieu se réduit au centre de l'hyperbole.

En général, le problème n'est possible que pour l'une des deux hyperboles conjuguées (995) déterminées par les axes a et 6.

998. Les tangentes PM, PM', menées à Vhyperbole par un point extérieur P, font des angles égaux avec les droites qui vont du point P aux deux foyers; la droite qui va du point P à l'un des foyers est bissectrice de V angle intérieur ou extérieur des rayons vecteurs qui vont de ce foyer aux deux points de contact M et M', suivant que les deux tangentes touchent

3o4. g£ométrib dans l'bspagb.

V hyperbole dans la même région ou dans deux régions différentes,

PROBLÈME

999. Mener à l'hyperbole une tangente parallèle à une droite donnée [Jig* 5i3).

Fiff. 5i3.

Même procédé que pour Tellipse (969). Seulement» le problème n'est pas toujours possible. Il faut que, si Ton mène par le centre de la courbe une parallèle à la droite donnée, elle ne tombe pas dans les angles des asymptotes qui renferment rhyperbole. En effet, pour que la perpendiculaire menée du foyer F à la droite donnée rencontre le cercle directeur F', il est nécessaire qu'elle tombe au-dessous de la droite FK, perpendiculaire à la fois à Tasymptote Oy {fig. 5i2), et tangente à ce cercle directeur. Le problème n'est donc en général possible que pour l'une des deux hyperboles conjuguées déterminées par les axes a et b.

Corollaires.

1000. Les deux tangentes parallèles à une droite donnée ont leurs points de contact symétriques par rapport au centre (970).

1001. Le produit des distances d* un foyer à deux tangentes parallèles ou le produit des distances des deux foyers à une même tangente est constant ( 972 ).

LIYBB VIII. — LES COURBES USUELLES. 3o5.

SCOLIB.

1002. Les constructions des n"» 996 el 999 n'exigent pas que rhyperbole soit tracée (973).

PROBLÈME

1003. Connaissant les foyers F et W et l'axe transverse d'une hyperbole f déterminer ses points de rencontre avec une droite donnée.

Même procédé que pour l'ellipse (97fc).

§ ni. - PROPRIÉTÉS FONDAMENTALES DE LA PARABOLE.

DÉFINITION ET TRACÉ DE LÀ COURBE

lOOi-. La parabole est une courbe plane telle, que chacun de.ses points est équidistant d'un point flxe et d'une' droite fixe donnés dans son plan. Ainsi [^g. 5i4)> le point fixe

Fig.5i4.

étant F et la droite fixe DIK, on aura, pour tout point M de la parabole, en abaissant MH perpendiculaire sur DD', MF = MH. Par sa définition même, la parabole est nécessairement située tout entière du même côté que le point fixe par rapport à la droite fixe.

3o6. GÉOMÉTRIE DAMS L* ESPACE.

D'après ce qu'on vient de dire, pour décrire un arc de parabole d'un mouvement continu, on fait coTncider l'arête d'une règle avec la droite DD', et l'on applique contre cette règle le petit côté KH d'une équerre KHG. Un 01, égal en longueur au grand côté HG de cette équerre, est fixé par ses deux extrémités, d'une part au point F, et de l'autre à l'extrémité G du côté HG. Si l'on tend alors constamment ce ûl contre le grand côié de Téquerre à l'aide d'un crayon, et si l'on fait en même temps glisser l'équerre le long de la règle, la pointe du crayon décrit un arc de parabole. En efTet, pour une position quelconque M de cette pointe, on a

GM-hMF = GH = GM + MH, d'où MF = HH.

En opérant de cette manière, on trace d'un mouvement continu l'arc BÂ, qui va du point B de la courbe dont la distance au point F est égale à GH, jusqu'au point A milieu de la perpendiculaire FL abaissée du point F sur la droite DD\ Il faut ensuite retourner l'équerre, comme l'indique la figure» pour décrire l'arc AB'.

On voit que la parabole est formée de deux branches qui s'étendent indéfiniment, à partir du point A, au-dessus et au-dessous de la droite FL; car si l'on emploie une règle, une équerre et un fil assez longs, rien ne limite l'éloignement des points obtenus sur la courbe. La parabole est doncfune courbe à branches infinies, mais sans séparation, et d'un seul côté de la droite fixe.

1005. Le point F est le foyer de la parabole, la droite DD' est sa directrice, La droite MF est le rayon vecteur du point M. La distance FL du foyer à la directrice se nomme le />aramè/re de la courbe, et on la représente par p.

1006. Cn peut aussi tracer la parabole par points.

En effet, prenons (fig. 5i5] un point P quelconque sur la perpendiculaire FL abaissée du foyer sur la directrice. Par le point P, menons une perpendiculaire à FL ou une parallèle à la directrice, et du foyer F comme centre, avec PL pour rayon, décrivons une circonférence qui coupera celte parallèle en deux points M et M' appartenant à la parabole, comme équidistants du foyer et de la directrice.

Pour que les points d'interseciion M et M' existent» il suffît que le point P soit à Tintérieur du cercle décrit du Toyer F comme centre avec PL pour rayon, c'est-à-dire qu'on ait FP<PL. Cette condition sera toujours remplie lorsque le point P sera à droite du foyer F (dans le cas de la Ggure); mais elle exige, si le point P est à gauche de F, qu'il reste à

Fig. 5i5.

droite du point Â, milieu de FL. Si Ton a dans ce cas, comme condition limite, FP=:PL, le point P se confond avec le point A, et les deux points M et M' se réunissent en ce point.

Le rayon vecteur minimum est donc AF ou f-i il n'y a pas de

rayon vecteur maximum, rien ne limitant l'éloigncment du point P à droite du foyer F.

THÉORÈME

1007. La parabole a pour axe la perpendiculaire menée die foyer sur la directrice {fig. 5x4).

Même démonstration que pour l'ellipse (952, i®). Le point A, commun à la parabole et à son axe, est le sommet de la courbe.

THÉORÈME

1008. Suivant qu'un point est intérieur ou extérieur à la parabole, sa distance au foyer est moindre ou plus grande que sa distance à la directrice (fig* 5i6).

Soit d'abord un point N intérieur à la courbe. Menons la droite NF et la perpendiculaire NH à la directrice, laquelle

3o8. GÉOMÉTRIE DANS L* ESPACE.

coupera la parabole au point M (100b). Le triangle NFM donne alors

NF<NM-hMF ou NF<NH, puisque MF = MH.

Soit de même un point N' extérieur à la courbe. Si le point N' et le foyer sont de côtés différents par rapport à la direclrice, la proposition est évidente. Sinon» menons la

Fig. 5i6.

droite N'F et la perpendiculaire N'H à la directrice» laquelle prolongée coupera la parabole au point M. Le triangle N'FM donne alors

N'F>MF-MN' ou N'F>N'H, puisque MF = MH.

1009. Ce théorème» rapproché de la définition de la courbe» fournit un critérium, pour juger de la position d'un point quelconque de son plan par rapport à la parabole supposée non tracée. Suivant que la distance du point considéré au foyer est égale, supérieure ou inférieure à sa distance à ta directrice, ce point est à la courbe, il lui est extérieur ou

intérieur.

THÉORÈME

1010. La limite d'une ellipse [ou d'une hyperbole) dont un sommet et le foyer voisin restent fixes, tandis que l'autre foyer s'en éloigne indéfiniment dans la direction du grand axe (ou de Vaxe transverse ), est une parabole qui a pour sommet et pour foyer le sommet et le foyer fixes (fig- 617).

En effet» le cercle directeur relatif au foyer mobile F' coupe toujours le grand axe à droite du foyer fixe F, en un même point L déterminé par la condition évidente AL = AF. A me-

LIVHE VIII. — LES COURBES USUELLES. SoQ .

sure que le centre F' de ce cercle s'éloigne dans la direction AA', son rayon croît indétinlmont, de sorte qu'il a pour limite la perpendiculaire DD' menée par le point L au grand axe AA'. D'ailleurs, tout point M de Tellipse étant également distant du foyer F et du cercle directeur F' (963), on a constamment MF = MG, c'est-à-dire à la limite, quand l'ellipse se

Fig. Si;.

déformant le point M vient en M,, M,F = M,H, en désignant par M, H la perpendiculaire abaissée du point M. sur la droite DD', limite du cercle F'. Le lieu des positions limites des points de l'ellipse donnée est donc une parabole ayant pour foyer et pour sommet les points F et A, et par suite la droite DD' pour directrice,

La même démonstration s'applique à l'hyperbole (998). Dans ce cas, la parabole est la limite de la demi-hyperbole de droite à laquelle appartiennent le sommet A et le foyer F; l'autre demi-hyperbole de gauche disparaît à l'inOni.

1011. Le théorème précédent permet de prévoir et de démontrer les propriétés de la parabole, en les déduisant par voie de transformation des propriétés correspondantes de l'ellipse.

Si ces propriétés dépendent explicitement des axes a et 6 de l'ellipse et de sa distance focale c, on substitue à a et à 6 leurs valeurs en fonction de c et du paramètre /? = 2( « — c) de la parabole limite; puis, en supposant c infini dans les for-

3lO. GÉOMÉTRIE DANS L*BSPAGE.

mules obtenues, on passe dQS propriétés de TeUipse représentées par ces formules, aux propriétés correspondantes de la parabole exprimées en fonction du paramètre;?.

THÉORÈME

1012. La tangente à la parabole fait extérieurement des angles égaux avec le rayon vecteur du point de contact et avec la parallèle menée à l'axe par le même point.

Ce théorème est évident d'après ce qui précède (1010), si Ton remarque que lorsque Tun des foyers d'une ellipse s'éloigne à Tinfini, le rayon vecteur relatif à ce foyer tend à devenir parallèle au grand axe. On arrive d'ailleurs facilement à une démonstration directe» en suivant la même marche que pour l'ellipse.

Prenons sur la parabole (Jig- 5i8) deux points voisins M et M'; menons la sécante MM'S, abaissons des deux points considérés les perpendiculaires Mcp, M' (p', sur la directrice DD', et traçons leurs rayons vecteurs. Portons sur FM une longueur FC = FM', et sur 9M une longueur cpE == fW. D'après la définition de la parabole, MC est égal à ME.

D'un point G quelconque de la sécante MM' S, menons à M'C et à M' E, jusqu'à la rencoBlre de FM et de 9M, les parallèles Gl et GH. Les deux quadrilatères CM'EM, IGHM, sont semblables (213), et l'égalité de MC et de ME entraîne celle de Ml et de MH.

Fig. 5 18.

Fig.519.

ml RE

TC^i'

ri V il ' F

A mesure que le point W se rapproche du point M, GH reste comme M'E perpendiculaire. à M^, tandis que GI, pcr-