MS __M9^__ MF, M'S""'M'9'~"M'F

la droite SF est donc la bissectrice de l'angle extérieur en F du triangle MFM' (191 ). La droite qui joint le foyer d'une parabole a^ point de rencontre d'une sécante quelconque avec la directrice, est donc bissectrice de l'angle extérieur des rayons vecteurs des points d'intersection de la sécante avec la courbe. A la limite, quand la sécante devient tangente, c'est-à-dire quand l'angle MFM' devient nul, la droite SF est remplacée {fig>5iQ) par la droite RF bissectrice de l'angle supplé-

3l2. GÉOMÉTRIE DAMS l'eSPACE.

mentaire. Par suite, la droite qui joint le foyer d'une parabole au point où une tangente quelconque rencontre la directrice, est perpendiculaire sur le rayon vecteur du point de contact,

1015. Tous les points de la tangente MT, sauf le point de contact M, sont extérieurs à la parabole qui, dès lors (959), est une courbe convexe {fig. 5ao ).

Fig. 520.

En effet, le triangle FM 9 étant isocèle et la tangente étant la bissectrice de son angle au sommet (1012), elle est perpendiculaire sur le milieu K de F<p. Pour un point T, quelconque de la tangente, on a donc, T|H étant la perpendiculaire abaissée de ce point sur la directrice, T, H <T, 9 ou T,H<Ï,F. Le point Ti est donc extérieur à la courbe (1009).

1016. Si Ton mène au point M {flg>5io) une perpendiculaire MN à la tangente MT, les deux angles FMN, OMN, sont égaux comme compléments d'angles égaux (1012). Donc, la normale à la parabole est bissectrice de l'angle formé par le rayon vecteur du point de contact et la parallèle menée à Vaxe par ce point.

Au sommet de la parabole, la normale se confond avec Taxe, et la tangente est perpendiculaire à cet axe.

Soient T et N [fig- 620) les points où la tangente et la normale rencontrent Taxe. Les triangles TMF,NMF, étant évidemment isocèles, on a MF = FT = FN. Ze foyer F est donc à une

LIYBB YIII. — LES COUBBES USUELLES. 3l3.

distance^ soit du pied de la tangente, soit du pied de la normale sur Vaxe, égale au rayon vecteur du point de contact,

1017. Dans le cas de la parabole, les rayons lumineux, sonores ou calorifiques, qui partent du foyer, deviennent tous parallèles à Taxe après leur réflexion sur la courbe. C'est pourquoi Ton emploie des réflecteurs paraboliques, lorsqu'on veut projeter au loin un faisceau de rayons lumineux parallèles (lanternes de voitures, phares). Réciproquement, tout rayon qui vient rencontrer la parabole parallèlement à son axe se réfléchit au foyer de la courbe. De là, par exemple, l'usage des réflecteurs paraboliques dans les télescopes, pour concentrer au foyer les rayons lumineux venant de l'astre observé.

THÉORÈME

1018. Le lieu des points symétriques 9 du foyer F par rapport aux diverses tangentes à la parabole est la directrice IJig. 520 )•

Cette proposition résulte du n"* 962. Elle est d'ailleurs évidente d'après ce qui a été dit au n'' 1015.

1019. Étant donnés un point F et une droite DD' {Jig, 52o), si l'on mène des droites F 9 aux différents points de la droite DD', les perpendiculaires élevées à ces droites par leurs milieux enveloppent une parabole qui a pour foyer le point F et pour directrice la droite DD' ; les points de contact de ces tangentes sont à leurs rencontres avec les perpendiculaires menées à la directrice par les points <p.

C'est là un nouveau procédé pour décrire la parabole par points (1006). En le suivant, on n'obtient qu'un point à la fois; mais on a en même temps la tangente en ce point.

1020. On voit que les parallèles à l'axe de la parabole ne rencontrent la courbe qu'en un seul point. Il serait donc faux de dire qu'une droite qui n'a qu'un point commun avec une courbe, même convexe, lui est tangente. Une droite tangente à une courbe convexe n'a qu'un point commun avec elle (959 ); mais la réciproque n'est pas vraie.

3l4* GÉOMÉTRIE. DàKS l'eSPAGE.

THÉORÈME

1021. Le lieu des projections du foyer d'une parabole sur ses tangentes est la tangente au sommet.

Celle proposilion résulle immédialemenl des théorèmes des n**' 96fc el 1010; car le cercle principal d'une ellipse lend vers la langenle au sommet fixe du grand axe de celle ellipse, lorsque l'autre sommet se transporte à Tinfinî. En voici néanmoins la démonstration directe.

MT étant la langenle à la courbe au point M {^g, Sai ), el o

Fie- 5îi.

le symétrique du foyer F par rapport à celle langenle» le point K où F<p coupe la langenle est le milieu de F9. D'ailleurs, le sommet A est le milieu de FL. Donc, dans le triangle FL(p, AK est parallèle à la directrice ou se confond avec la langenle au sommei ( 1016). La projection K du foyer sur une langenle se trouve par suite sur la langenle au sommet.

Réciproquement, K étant un point de la tangente au sommet, si Ton mène la droite FK<p, le point (p sera le symétrique du foyer F par rapport à la tangente qui passe par le point K (1019); le point K sera donc la projeciioA du foyer F sur celle tangente.

Corollaire.

1022. Si l'un des côtés d'une équerre passe consiammenl par le foyer F, tandis que son sommet parcourt la langenle AK au sommet, l'autre côté de l'équerre reste constamment tangent à la parabole.

LIYRE YllI. — LES COURBES USUELLES.

THÉORÈME

1023. Dans toute courbe rapportée à des axes rectanguiaires, l'ordonnée est moyenne proportionnelle entre la soustangente et la sous-normale.

Pour indiquer la position d'un point M dans un plan, on peut donner ses dislances MP et MQ à, deux axes rectangulaires indéfinis xOa/, yOy^ (yîgf.522), tracés dans ce pian. Le nombre qui mesure la dislance MQ = OP, du point M à l'axe jO/', s'appelle V abscisse de ce point; son ordonnée esl le nombre qui mesure sa distance MP = OQ à l'axe xOx^. L'abscisse est d'ailleurs positive ou négative, suivant que P tombe surOjTOu surO^; l'ordonnée est positive ou négaiive, suivant que Q tombe sur 0 j ou sur Oy'. L'abscisse et l'ordonnée d'un point M constituent ses deux coordonnées. Les axes j:0 x' et yOy' sont les axes des coordonnées^ et leur intersection 0 en est Vorigine.

Fig. 522.

Quand un point app»rtient à une courbe donnée, son ordonnée y dépend de son abscisse x^ et elle esl déterminée par le choix de celle abscisse. Par exemple, l'abscisse x et l'ordonnée /d'un point quelconque d'une circonférence de rayon R rapportée à deux axes rectangulaires passant par son centre (yîg.522) sont évidemment liées par la relation

y^^x^—^\ d'où y^=iK^—x\

Le choix des axes coordonnés est arbitraire. On adopte de préférence les droiles les plus remarquables du plan relail-

3l6. GÉOMÉTRIE BANS l' ESPACE.

vemenl à la courbe, telles que ses axes, ses tangenles aux sommets, etc. Dans la parabole, on choisit Taxe et la tangente au sommet.

Cela posé, soit (yîgr. 5-23) une courbe C rapportée à deux

Fig. 5i3.

axes de coordonnées rectangulaires jrOa:', yQy\ Menons en un point quelconque M la tangente MT, la normale MN et l'ordonnée MP. La projection TP sur Taxe Ox de la portion de tangente MT comprise entre son point de contact M et son pied T sur cet axe s'appelle sous-tangente; de même, PN est la sous-normale. Le triangle TMN étant rectangle en M, et MP étant perpendiculaire sur l'hypoténuse TN, le théorème énoncé est démontré (222).

Au lieu d'axes rectangulaires, on peut employer des axes obliques. Les coordonnées d'un point sont encore ses distances aux deux axes, mais comptées parallèlement à ces axes. Les projections ne sont plus alors orthogonales, mais obliques, et le théorème précédent cesse d'être vrai.

THÉORÈBfE.

102&'. Dans ia parabole : i° la sous-tangente est double de l'abscisse du point de contact; n"" la sous-normale est constante et égale au paramètre [fig* 5i^ ).

i^ Soit la tangente en Ma la parabole. Si l'on prend pour axes coordonnés l'axe A^ de la courbe et la tangente au sommet Aj, le point M aura MP pour ordonnée et AP pour abscisse. Le triangle TFM étant isocèle (1016), la projection K du foyer F sur la tangente MT est le milieu de MT. La tangente