LIVRE TIII. — LBS COURBES USUHLLBS. Si

au sommet AKj étant parallèle à l'ordonné MP, le sommet A est alors le milieu de la sous-tangente TP, et ÏP = aAP.

Fijj. 5a4.

oP Soit la normale MN. Elle est perpendiculaire à la tangente MX comme la droite F(p. La figure MepFN est donc un parallélogramme, et <pF = MN. Les deux triangles rectangles MPN, 9LF, sont alors égaux, et l'on a PN = LF — p.

1025. Le carré de l'ordonnée d'un point de la parabole est proportionnel à l'abscisse de ce point [Jig. 524 ).

Soient jet j; les coordonnées MP et AP d'un point quelconque M de la parabole. On aura (1023, 1024)

j» = TP.PN=2jr.p ou y'-=9.px.

PROBLÈME

1026. Mener une tangente à la parabole par un point donné,

I® Si le point donné M est sur la courbe {Jig. 524), on mène le rayon vecteur MF et la perpendiculaire M 9 sur la directrice; puis, la bissectrice de Tangle FM<p, qui est la tangente demandée (1012).

Il vaut mieux prendre sur Taxe, du côté du sommet, une longueur FT égale à MF; en joignant le point T ainsi obtenu au point donné M, on a ( 1016] la tangente demandée.

2® Si le point donné P est extérieur à la parabole, on re-

3l8. GÉOHÊTRIB DAMS l' ESPACE.

marque que la question serait résolue si Ton connaissait le symétrique <p du foyer F par rapport à la tangente cherchée; car on aurait alors cette tangente en abaissant du point P une perpendiculaire TP sur F<p (Jig^ 525). La droite TP couperait d'ailleurs la parallèle menée à Taxe par le point 9, au point de contact M. Or, le point <p se trouve à la fois sur la directrice DD' (1018) et sur le cercle décrit du point P comme centre avec PF comme rayon.

Fig. 5î5.

Ce cercle et la directrice se coupent toujours, quand le point P est extérieur à la courbe; car il est alors plus près de la directrice que du foyer (1008), et il y a deux solutions, qui se réduisent à une seule quand le point P est sur la parabole, ou disparaissent lorsqu'il est intérieur à la courbe.

Corollaires.

1027. Cherchons la condition pour que les deux tangentes, menées du point P à la parabole soient à angle droit.

Ces tangentes étant supposées à angle droit, comme elles, sont respectivement perpendiculaires aux milieux des droiteb. F 9 et F<p', Tangle <pF<p' est aussi droit. Par suite, 99' est uii< diamètre de la circonférence PF, et le point P est sur la directrice. Le lieu des sommets des angles droits circonscrits àla parabole est donc la directrice.

Dans ce cas, Tangle PFM est droit ainsi que l'angle PFM' (lOli»): la corde des contacts MH' passe donc alors par le foyer et est perpendiculaire à PF.

LIYBE YIII. LES COURBES USUELLES. Sig.

1028. Les tangentes PM, PM', menées d'un point extérieur P à une parabole f font des angles égaux avec la droite qui joint ce point au foyer et avec la parallèle menée à l'axe par ce point; la droite qui va dufojrer au point P est bissectrice de l'angle formé parles rayons vecteurs des points de contact M et M'.

Cetle propriété est une conséquence immédiate des n"» 968 et 1010. Il est facile de la démontrer directement.

Reportons-nous à la^g-. 525, et soit PH la parallèle menée à l'axe par le point P. La tangente PMT étant perpendiculaire sur le milieu de F<p, comme la tangente PM'T' sur le milieu de F 9', les deux angles MPH, F 99', ont leurs côtés respectivement perpendiculaires et sont égaux; la droite PM' est la bissectrice de Tangle 9'PF, et l'angle au centre M'PF, égal alors à Tangle inscrit F 99', Test aussi à Tangle MPH. De plus, les angles PFM, PFM', sont respectivement égaux aux angles P9M, P9'M'. Or, le triangle 9P9' étant isocèle, les angles P9M, P9'M', sont égaux comme compléments d'angles égaux; et leur égalité démontre celle des angles PFM, PFM'.

1029. Mener à la parabole une tangente parallèle à une droite donnée.

Tout revient encore à trouver le point 9 symétrique du foyer F par rapport à la tangente cherchée. Or, ce point se trouve à l'intersection de la directrice et de la perpendiculaire abaissée du foyer F sur la droite donnée. Il y a toujours une solution, et une seule.

SCOLIB.

1030. Les constructions des n** 1026 et 1029 n'exigent pas que la courbe soit tracée; il suffit d'en connaître le foyer et la directrice.

PROBLÈME

1031. Connaissant le foyer F et la directrice DD' d'une pa^ rabolcy déterminer ses ff oints de rencontre avec une droite donnée LL'.

Supposons le problème résolu, et prenons (fig. 526) le sy-