LIVRE YIII. — LBS COURBES USUELLES
poser qu'il passe par le centre du cercle, puisque les projections d'une même figure sur deux plans parallèles sont égales (858, i«).
Soit donc AA' (Jig. 527) le diamètre suivant lequel le plan
de projection coupe le cercle donné. Le diamètre BB', perpendiculaire à AA', a pour projection la droite 66', et cette droite, d'après un théorème connu (533), est elle-même perpendiculaire sur AA'. D'ailleurs, des droites parallèles ayant sur un même plan des projections parallèles, et la projection du milieu d'une droite étant le milieu de sa projection, la courbe projection du cercle a nécessairement pour axes les droites AA' et bb'. Dès lors, si cette projection est une ellipse, son grand axe sera AA', et la distance de son centre 0 à l'un des foyers sera égale à B6 (953). Portons donc sur AA', de part et d'autre du point 0, des longueurs OF=:OF'= B 6. Il restera à démontrer que la somme des rayons vecteurs m F et m F' d'un point quelconque m de la projection obtenue, est constante.
Le point m étant la projection du point M dont l'ordonnée par rapport aux axes AA' et BB' est MP, la droite mP sera aussi perpendiculaire sur AA'. Abaissons des points F et F', sur le diamètre MM' qui répond au point M, les perpendiculaires FG et F' G'. L'égalité des triangles rectangles FOG, F'OG', donne à la fois GF = G'F' et OG rzzOG'; par suite, MG' = GM'.
Cela posé, la similitude des triangles rectangles FOG, MOP, d'une part, MPm, B06, d'autre part, donne
FG MP Mm
OF ou Bb ~ OM ou OB ~ B6 '
et il en résulte Mm = FG. Les triangles rectangles MmF, MGF, sont alors égaux, et mF = MG.
Comme GF = G'F', les triangles rectangles MmF', MG'F, sont aussi égaux, et Ton a
mF=:MG'==GM'.
La somme mF -f- mF', égale à la sonime MG -h GM', est donc bien égale au diamètre AA'; ce qui démontre le théorème.
On voit que le grand axe de l'ellipse obtenue est toujours égal au diamètre du cercle donné. On a de plus, dans le triangle rectangle BfcO (705),
Ofr=:OBcosBOfr.
Si Ton désigne par 2a et ailes axes AA' et W de l'ellipse projection du cercle, et par V Tangle de leurs plans, on aura donc
ft— acosV et cosV=:-«
Corollaires.
1034. L'ordonnée MP du cercle {Jig. 627) étant représentée par Y et l'ordonnée correspondante mP de l'ellipse par j, Je triangle rectangle MmP donne
X = ^ cos V, c'est-à-dire ^ = - Y.
On passe donc du cercle principal d'une ellipse (964) à cette ellipse, en diminuant toutes les ordonnées du cercle dans le rapport du petit axe au grand axe. Cette remarque fournit un nouveau procédé pour décrire l'ellipse par points.
On trace un cercle sur chacun des axes de l'ellipse comme diamètre {Jig» 528); un rayon quelconque coupe ces cercles aux points N et S. Si l'on mène alors l'ordonnée NP du point N et la parallèle SM au grand axe, riniersection M de ces deux
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droites est un point de l'ellipse. On a, en elTet,
MP = S,NP, c'est-à-dire MP=-.NP.
ON a
1035. On peut déduire de là la réciproque du théorème précédent. La projection orthogonale d'une ellipse dont les axes sont 2a et 7,1, sur un plan passant par son petit axe et
faisant avec le plan de l' ellipse un angle V tel que cos V = - j
est un cercle de diamètre ib. Car, si l'on considère sur l'ellîpse et sur le cercle 26 [fig. 628) deux points M et S ayant
Fig. 528.
la même ordonnée OQ, leurs abscisses a: et X sont liées par la relation
