X ON ,, . V

X Uc> a

Pour passer de l'ellipse au cercle, il faut donc diminuer les abscisses de l'ellipse dans le rapport de 6 à a ou les multiplier par cosY; c'est-à-dire que pour que le cercle 26 devienne la projection orthogonale de l'ellipse proposée sur son plan primitif, il suffit de faire tourner cette ellipse de l'angle Vautour de l'axe BB'.

L'ellipse peut donc être regardée comme provenant de la contraction ou de la dilatation des cercles qui ont ses axes pour diamètres.

1036. Si l'on ne suppose plus que le plan de projection passe par le centre du cercle donné, le grand axe de sa pro* JQCtion elliptique, étant toujours égal à son diamètre, est Ja

projection du diamètre du cercle qui est parallèle au plan de projection. Cette remarque est utile dans les Applications.

SCOLIE

1037. Si Ton fait tourner le cercle A A' {fig. 527), que nous appellerons cercle auxiliaire, autour de son intersection avec le plan de projection, pour le rabattre sur ce plan, les ordonnées MP et mP des points correspondants M et m du cercle et de IVllipse, se confondront en direction; et le cercle AA' se superposera au cercle principal (OGi*) de l'ellipse. L'emploi du cercle principal, considéré comme rabattement du cercle auxiliaire dont l'ellipse est la projection, permet de traiter plus simplement plusieurs des questions déjà résolues. Nous en donnerons des exemples.

THÉORÈME

1038. Lorsque les extrémités d'une droite AB de longueur constante glissent sur deux droites rectangulaires Ox et Oy, un point quelconque M de cette droite décrit une ellipse dont les axes sont dirigés suii^ant Ox et 0/, et ont pour demi-longueurs a et b les distances MA et MB du point M aux extrémités de la droite AB (Jig. Sag).

Fig, 529.

y hy

Fig. 53o.

Prenons pour axes coordonnés (1023) les deux droites Ox ei 0^-, les coordonnées du point M seront MP et OP. Par le point 0, menons ON paiallèle à ABM, jusqu'à la rencontre de l'ordonnée MP. La figure OAMN étant un parallélogramme, OX sera égale à la longueur constante AM ou a. Les triangles rec-

LITRE TIII. — LKS t'OUBBBS USUELLES. 3a5.

tangles semblables BPM, OPN, donnent d'ailleurs

MP BM „ h ^

^ = ^ ou MP=-.NP. ^

Le point M décrit donc Tellipse (103<h)dont le cercle ON est le cercle principal, el qui a pour demi-axes a et 6, c'est-à-dire les distances MA et MB.

Ce théorème donne un moyen pratique très-simple de construire une ellipse par points, à Talde d*une bande de papier sur les bords de laquelle on marque les trois points A, B, M. Il existe un compas elliptique fondé sur ce même principe.

Corollaires.

1039. Considérons {Jig. 53o) la droite donnée dans les deux positions voisines ABM, A'B'M'. Sur les milieux de A A' et de BB\ élevons les perpendiculaires au et ^(ù qui se coupent en 6). La perpendiculaire élevée sur le milieu de MM' passera par le point o). En effet, les deux triangles Ao) B, A'&iB', étant égaux, les angles ABu, A'B'a», sont égaux. Les angles &)BM, (k>B'M^ le sont alors eux-mêmes comme suppléments d*angles égaux. Il en résulte l'égalité des triangles (uBM, coB'M', et par suite celle des distances gi)M, g^M'.

Si l'on suppose maintenant que le point M' se rapproche indéfiniment du point M considéré comme fixe sur l'ellipse qu'il décrit, MM' tendra vers la tangente à la courbe en M, et la perpendiculaire élevée sur le milieu de MM' vers la normale au même point. D'ailleurs, a(ù et |3(k) ont pour limites les perpendiculaires élevées en A et en B aux axes 0^* et Ox. En joignant- le point I d'intersection de ces perpendiculaires au point M (Jig. 529), on aura donc la normale en M à l'ellipse tracée.

lOW. Quand les extrémités d'une droite AB de longueur constante glissent sur deux droites fixes quelconques Ox et Oy, un point quelconque M, lié invariablement A AB dans le plan AOB, décrit une ellipse [fi g. 53 1).

Le diamètre du cercle circonscrit au triangle variable AOB

AB est évidemment constant el égal à -: — irnï' ^® diamètre OC

sm • A\jD

de ce cercle, dans la position actuelle de la droite AB, s'obtient en élevant en A et B, aux axes Oa: etO/, des perpendiculaires qui se coupent au point C.

Le cercle OC change de position en même temps que la droite AB; mais il passe toujours par le point 0. Si on le regarde comme lié invariablement à cette droite. Tare AD qui sépare le point A d'un point quelconque D de sa circonférence reste constant; par suite, l'angle AOD restant lui-même constant et ayant son côté OA fixe, tout point D du cercle OC décrira une droite OY.

Si Ton trace le diamètre du cercle OC qui passe par le point donné M, les extrémités D et £ de ce diamètre décriront donc pendant le mouvement de AB les deux droites fixes ODY et OEX. Ces droites étant à angle droit, il résulte du théorème précédent (1038) que le point M décrit une ellipse ayant pour demi-longueurs de ses axes dirigés suivant OY et OX, les distances ME et MD.

Les perpendiculaires variables élevées en D et en E aux droites OY et OX se coupant au point mobile C, on obtiendra la normale en M à cette ellipse en menant la droite MC ( 1039).