LIVRE VIII. — L£S GOORBES USUELLES

SCOLIE

lOiJ^l. La position du point C est indépendante de celle du point donné M. Donc» si le point M varie, toutes les nor<ina1e% aux points correspondants des différentes ellipses obtenues viendront, pour une même position de la droite AB, se couper au point C. %

D'ailleurs, le lieu du point C est la circonférence décrite du point 0 comme centre avec la longueur constante OC pour rayon, et le cercle 6)C, variable de position, reste constamment tangent au cercle OC dont le rayon est double du sien.

On peut donc se figurer le mouvement du triangle ABM, en le supposant entraîné dans le mouvement du cercle goC qui roule sans glisser à l'intérieur du cercle fixe OC de rayon double.

On sait que, dans un pareil mouvement, tout point du cercle mobile décrit un diamètre du cercle fixe (théorème de De La Hire), résultat qui coïncide avec la remarque sur laquelle la démonstration précédente est fondée. De plus, d'après ce qu'on vient de voir, tout point M lié invariablement au cercle mobile y et situé en dehors ou en dedans de ce cercle ^ décrit une ellipse; c'est un autre énoncé de la proposition du n*» 1040.

PROBLÈME

1042. Mener à PelUpse une tangente par un fwint donné,

1° Supposons d'abord le point donné m sur la courbe. Si l'on irèno (fig, 53a) l'ordonnée /?/P et si on la prolonge jusqu'à sa rencontre en M

Fig. 53a.

avec le cercle principal, la tangente MI menée en M à ce cercle sera le rabattement de la tangente menée au cercle auxiliaire (1037) par le

point qui a pour projecUon w; et comme le point T, pied de la tangente sur Taxe, ne varie pas pendant la rotation autour de AA', c'est en ce même point que la tangente au cercle auxiliaire perce le plan de projection. La projection de la tangente en un point d'une courbe étant tangente à la projection de cette courbe (862), et le point T étan|à luimême sa propre projection, pour avoir la tangente à Tellipse donnée au point w, il suffira de tracer la droite mg. On peut donc opérer directement à Taide du cercle principal, sans remonter au cercle auxiliaire.

a** Soit maintenant le point donné R extérieur à V ellipse (fig. 533).

R est la projection d'un certain point du plan du cercle auxiliaire, et il s*agit de trouver le rabattement de ce même point sur le plan du cercle principal. Pour cela, menons les droites RBK et B^K. Le point K étant sur l'axe et le point B, étant le rabattement du point dont B est la projection, la droite B,K est le rabattement de la droite de l'espace qui a pour projection RBK. Le point cherché R, se trouve donc à la fois sur B, K et sur Tordonnée RP ( 1037).

R, étant déterminé, il ne reste plus qu'à mener par ce point des tangentes R,MT, R,MT, au cercle principal. Les droites TR etT'R sont alors les deux tangentes qu'on peut mener par le point R à Tellipse proposée, et les points de contact m et m' de ces tangentes sont à leurs rencontres avec les ordonnées des points M et M' par rapport aux axes AA' et BB'.

PROBLÈME

1013. Mener à V ellipse une tangente parallèle à une droite donnée

ifig^ 534).

Soit OD la droite donnée. Elle est la projection d'une certaine droite du pian du cercle auxiliaire, et il s'agit de trouver le rabattement de cette môme droite sur le plan du cercle principal. Pour cela, menons la

LITRE TllI. — LES C0DRBE8 US0ELLB9. 829.

droite quelcooque BNK qui coupe CD en N el Taxe AÂ' en K. La droile B,K étant le rabattement de la droite de Tespace qui a pour projection BNK, le point N, , rabattement du point dont N est la projection, se trouve à la fois sur B|K et sur Tordonnée du point N. Le point N, étant déterminé, la droite ON^D, est le rabattement cherché.

Fig.;

Il ne reste plus alors qu'à mener au cercle principal, parallèlement à OD, , les tangentes MT et M'T'. Les droites T/w et T'm', tracées parallèlement à OD, seront les tangentes demandées, et leurs points de contact m et m* se trouveront sur les ordonnées des points de contact M et M'.

SCOLIE

iOii. Les constructions précédentes (i042, i043) n'exigent pas que Tellipse soit tracée : il suffit que ses axes soient donnés.

PROBLÈME

i0i5. Connaissant les axes (Vune ellipse^ construire ses points d'intersection avec une droite donnée (fig. 535).

Fig. 535.

Soit DD' la droite donnée. Il s'agit de trouver le rabattement de la droite dont DD' est la projection. Nous mènerons par le point B une

33o. GfioxfiTEn DANS l'bspàcb.

droite quelconque BCK qui coupe DD' au point C et Taxe AA' au point K. La droite B,K étant le rabattement de la droite projetée en BCK, le rabattement C, du point C se trouve à la fois sur B, K et sut Fordonnée du point G* D'ailleurs, le point L où DD' rencontre l'axe AA' appartenant au rabattement cherché, on Vobtiendra immédiatement en traçant la droite LC,. Cette droite coupe le cercle principal en deux points M et M', et les ordonnées de ces points coupent DD' aux deux points demandés m et m\

THÉORÈME

i046. Tous les diamètres de Veliipse sont des lignes droites passant par son centre.

On entend par diamètre d'une courbe le lieu des milieux des cordes de cette courbe parallèles à une direction donnée. Dans le cercle, tout diamètre est une droite perpendiculaire au système de cordes qu'il divise en deux parties égales (103) ou qui lui est conjugué.

Cela posé, tout système de cordes parallèles du cercle a pour projection un système de cordes parallèles de l'ellipse projection du cercle. Les milieux des cordes du cercle étant sur un même diamètre, les projections de ces milieux ou les milieux des cordes correspondantes de Fellipse sont sur une même droite projection du diamètre du cercle, c'està-dire passant par le centre de l'ellipse. Le théorème est donc démontré.

i(U7. RÉCIPROQUEMENT, toute droite passant par le centre de VelUpsc est un diamètre de la courbe; car elle est la projection d'un certain diamètre du cercle dont l'ellipse est la projection. Les cordes conjuguées au diamètre de l'ellipse sont les projections des cordes conjuguées au diamètre correspondant du cercle.

Corollaires.

1048. Deux diamètres sont dits conjugués^ quand chacun d'eux fiait partie du système de cordes conjugué à l'autre. Dans le cercle, deux diamètres conjugués sont perpendiculaires entre eux. Pour avoir des diamètres conjugués de l'ellipse projection du cercle, il faut donc projeter deux diamètres rectangulaires du cercle; chacun des diamètres obtenus en projection divisera alors en deux parties égales les cordes parallèles à l'autre.

Les diamètres conjugués de l'ellipse jouissent d'importantes propriétés. [Foir l'Appendice.)

1049. La tangente à l'extrémité d'un diamètre du cercle, étant perpen^' diculaire à c^ diamètre, est parallèle au système de cordes qui lui est conjugué. Il en résulte que la tangente à Vextrémité d'un diamètre de r ellipse est parallèle au système de cordes conjugué à ce diamètre.

i050. Si Ion mène deux tangentes à un cercle par un point extérieur,