GÊOVÉTAIB DAKS l'bSPACB
la projection orlhogonale d*un cercle de diamètre ia^ dont le pian fait
avec celui de Tellipse un angle V tel que cosV = -(i033). D*après un
théorème connu (707), on obtiendra alors Taire de l'ellipse en multipliant Taire du cercle par cosV. On trouve ainsi, pour l'expression de
cette aire,
i:ab^ c'cst-à-di re /tt «' . r ^' .
THÉORÈME
1053. Vaire d*un segment parabolique est les deux tiers du parallélogramme qui a pour côtés la corde et la flèche du segment, cette flèche étant mesurée sur le diamètre conjugué à la corde du segment.
Soit {Jig, 537 ) le segment parabolique MAM, déterminé par la corde MM,. Prenons pour axes coordonnés le diamètre kx conjugué à cette corde et la tangente parallèle A/. Évaluons d'abord Taire do la portion MAP.
Fîg. 537.
Inscrivons dans Tare AM une ligne brisée MM'M'...A.et, par les sommets de cette ligne brisée, menons à la courbe les tangentes MT, MT',..., jusqu'à la rencontre du diamètre A:r; menons aussi les ordonnées MP, M'PV-M des sommets de la ligne brisée.
Comparons le trapèze MM'P'P au triangle correspondant GTT'. Si Ton mène par le sommet G du triangle une parallèle GH à Ax, elle passera par le milieu I de la corde MM' (1050). La perpendiculaire abaissée du milieu du côté MM' sur le côté PP' du trapèze MM'P'P est donc égale à la hauteur du triangle GTT'. Pour avoir le rapport de leurs aires, il suffit alors [Questions proposées^ 386] de comparer le côté PP' du trapèze à la base TT' du triangle. Or (1051 ) AT = AP et AT' = AP', d'où TT' = PP'. Le triangle est donc la moitié du trapèze. Et comme on peut répéter le
même raisonnement pour chaque trapèze et pour le triangle correspondant, la somme des trapèzes reste toujours égale au double de la somme des triangles. La limite de la première somme étant l'aire MAP et la limite de la seconde Taire MAT, Faire MAP est les deux tiers du triangle total MTP ou du parallélogramme équivalent APMQ.
L'aire M, AP étant de même les deux tiers du parallélogramme APM, Q^ , Faire cherchée MAM, est enfin les deux tiers du parallélogramme MQQ, M, , qui a pour côtés la corde MM, du segmemt ou le double de Fordonnée MP et la flèche de ce segment ou Fabscisse AP.
§ V. - SECTIONSJPLANES DU CONE DE RÉVOLUTION.
THÉORÈME
1054. La section eVun cône circulaire droit par un plan est une ellipse y une hyperbole ou une parabole,
i** Supposons que le plan sécant rencontre toutes les génératrices du cône sur une même nappe (fig, 538).
Menons le plan méridien (857, 3**) du cône, qui est perpendiculaire au plan sécant AMA'; il coupera le cône suivant les deux génératrices SA et SA' qui font entre elles \ angle au sommet de la surface, et le plan sécant suivant la droite AA'. Dans le plan méridien considéré, construisons les circonférences 0 et 0' qui, situées de part et d'autre de AA', sont à la
