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fois tangentes aux génératrices SA et SA' et à la droite AA' qu'elles touchent aux points F et F'. Si Ion fait tourner le plan méridien autour de l'axe SO, ces deux circonférences engendreront deux sphères tangfjites à la surface conique suivant les parallèles (857, 3^] BC et B'C, et tangentes au plan sécant en F et en F'.
Ceci posé, prenons un point M quelconque sur la courbe d'intersection ; menons les droites MF, M' F' et la génératrice SM qui coupera en G et en G' les parallèles BC, B'C. La droite BiF éUnt tangente à la sphère 0 (778), on a ( 779) MF = MG. On a de même, par rapport à la sphère 0', MF' = MG'. Par suite,
MF -h MF' = MG -^ MG' = GG' = BB' = const.
D'ailleurs, en vertu des propriétés rappelées, on a
BB'=AB-f-AB' = AF-4-AF' et BB' = CC' = CA'-^ A'C'= A'F-h A'F.
II en résulte évidemment
AF = A'F et BB' = AA'.
La courbe obtenue est donc une ellipse axant AA' pour grand axe et les points F et F' pour foyers.
Si l'on trace A'H parallèle à BC, AH est la distance focale de cette ellipse. En effet,
AF=AB' el HB' = A'C' = AF.
Les plans des parallèles BC, B'C, prolongés jusqu'à la rencontre du plan sécant, le coupent suivant deux droites DE, D'E', perpendiculaires au plan méridien considéré (561). Si l'on mène le parallèle LL' de la surface qui passe par le point M, son intersection avec le plan sécant est de même dirigée suivant l'ordonnée MP de ce point par rapport au grand axe AA', et PD représente la distance du point M à la droite DE. Les triangles APL, ADB, AA'H, évidemment semblables, donnent alors
BL ou MF AB AH
— PD — = Â5 = ÂÂ?=^"'^-
Ainsi, les distances de chaque point de l'ellipse trouvée au foyer F et i la droite DE sont entre elles dans un rapport égal à l'excentricité (950) de la courbe. La même démonstration s'applique au foyer F' et à la droite D'E'. Les droites DE, D'E', sont appelées les directrices de la section, a** Supposons que le plan sécant rencontre les deux nappes tlu c6ne
On a alors
MF' - MF = MG' - MG = GG' = BB' = conpt.; d'ailleurs,
BB'=AB' — AB = AF'-AF et BB'=CC'=: A'C- A'C' = A'F- AT.
LIYRB TlII. — LBS GOURBB9 USUELLES.
Il en résulte évidemment
AF = A'F' et BB'=AA'.
La courbe obtenue est donc une hyperbole^ ayant kk' pour axe transverse et les points ¥ et ¥' pour foyers.
Si Ton trace A' H parallèle à B'C, AH est la distance focale de cette hyperbole. En effet,
AB' = AF et B'H = C'A'= AT'.
Les droites DE et D'E', intersections des parallèles BC, B'C, avec le plan sécant, sont les directrices de l'hyperbole. Le rapport des distances du point M au foyer F et à la droite DE est égal à l'excentricité de la courbe. Cest ce que les triangles semblables APL, ADB, AA'H, montrent immédiatement.
3" Supposons le plan sécant parallèle à l'une (les f^nératrices du cône
(fis- 540).
Ayant mené le plan méridien LSL' perpendiculaire au plan sécant, ce dernier se trouve parallèle à la génératrice SL' et est alors coupé par le plan méridien suivant une droite AP parallèle (500) à cette génératrice. Dans le plan méridien, construisons la circonférence 0, tangente aux génératrices principales en B et en C, et à la droite AP au point F. Si Ton fait tourner la figure autour de l'axe SO, la sphère engendrée par la circonfé-
rence 0 est tangente au cône suivant le parallèle BC et touche en F le plan sécant.
Fig. 540.
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Cela posé, prenons un point quelconque M sur la courbe d*intersection ; menons la droite MF et la génératrice SM qui coupe en G le parallèle BC de^la surface; menons également le parallèle LL' de la surface qui passe par le point M et qui rencontre le plan sécant suivant l'ordonnée MP de ce point par rapport à AP. On aura toujours
