LIVRE Tlll. — LES COURBES USUELLES

1056. Les sphères considt^rées dans la démonstralion précédente peuvent, tout en restant inscrites au cône, cesser d'èlre tangentes au plan sécant qui les coupe alors suivant deux cercles. Les mêmes raisonnements étant applicables à ce cas, on arrive à cette proposition : Le lieu des points ielsy que le rapport qui*existe entre les tangentes menées de ces points à im cercle fixe et les distances de ces mêmes points à une droite fixe soit constant^ est une section conique dont la nature dépend de la valeur de ce rapport comparée à r unité (1053).

PROBLÈME

i057. Placer une ellipse y une hyperbole ou une parabole donnée sur un cône de révolution ilonné,

V Si Ton se reporle à la/j^. 538, on voit qu*on connaît dans le triangle AÂ'H le grand axe ÂA' de Keliipse donnée et sa distance focale AH, ainsi que Tangle ÂHA', complément du demi-^ngle au sommet du cône donné. La question revient donc à construire un triangle avec deux côtés et l'angle opposé à l'un d'eux. Comme Tangle donné est opposé au plus grand des deux côtés donnés, ce triangle est complètement déterminé (158). Quand il sera construit, on élèvera une perpendiculaire sur le milieu de A'H, et la surface conique engendrée par AH en tournant autour de cette perpendiculaire sera coupée suivant Tellipse donnée par un plan mené suivant AA' perpendiculairement au plan du triangle AA'H. On peut donc toujours placer une ellipse donnée sur un cône donné.

7."* Si Ton se reporte à \9fig. SSg, on voit qu'on connaît dans le triangle AA'H Taxe transverse AA'et la distance focale AH de l'hyperbole donnée, ainsi que l'angle AHA', complément du demi-angle au sommet du cône donné. Comme cet angle est opposé ici au plus pelit des deux côtés donnés, le problème peut avoir deux solutions ou n'en avoir aucune (158). Pour qu'il soit possible, il faut que AA' surpasse la perpendiculaire abaissée du point A sur HA', c'est-à-dire qu'on ait, en appelant 2^ l'angle au sommet du cône et en posant (977) AA' = ^a, AH = 2c,

aa>2ccosp ou cosp<--

Mais si l'on appelle a 0 l'angle des deux asymptotes de l'hyperbole proposée, on a évidemment (992)

- = cosô.

La condition cherchée est donc

C08f><C0SÔ

ou, puisqu'il s'agit d'angles inférieurs à un droit, P>0 ou ap>aO.

Donc, pour poui*oir placer une hyperbole donnée sur un cône de révo* liUion donné y il faut que P angle au sommet du cône surpasse celui des deux angles des asymptotes de r hyperbole qui comprend la courbe.

3** Si l'on se reporte à la Jîg. 54o, on voit que la droite OA est perpendiculaire à Taxe SO, d'après la détermination du point 0 et le parallélisme des droites SL' et ÂP. Dans le triangle rectangle OBA, on coonatt

FD 'par suite le côté AB = ÂD = -^} demi-paramètre de la parabole donnée

(1005), et Tangle BAO complément du demi-angle au sommet du cône donné. Ce triangle est donc complètement déterminé (34). L'ayant construit , on élèvera OS perpendiculaire sur OA , et la surface conique engendrée par la rotation de AB autour de SO sera coupée suivant la parabole donnée par un plan mené perpendiculairement à celui du triangle OBA et passant par la droite AP, tracée de manière que AO soit la bissectrice de l'angle SAP. On peut donc toujours placer une parabole donnée sur un cône donné.

Sgolies.

1058. Le sommet d'un cône de révolution s'éloignant à l'infini dans la direction de l'axe, ce cône dégénère en cylindre de révolution. Un cylindre circulaire droit est donc coupé suivant une ellipse par un plan sécant quelconque (iO^éy i*).

C'est ce qu'on démontrera, au reste, directement en adoptant la même marche que précédemment. Cette marche permettra de déterminer le grand axe, les foyers et les directrices de la section proposée. On en déduira facilement que toutes les ellipses trouvées en coupant par unplfm quelconque un cylindre fie révolution^ ont pour petit axe le diamètre de ce cylindre.

On peut toujours placer une ellipse donnée sur un cylindre de révolution dorme (1057, i°), lorsque le petit axe de V ellipse est égal au diamètre du cylindre,

THÉORÈME

1059. Si Von coupe une surface gauche de révolution par un plan^ la projection de V intersection sur un plan perpendiculaire à Vaxe de la suïfqce est une section conique [fig. 54 1).

On appelle surface gauche de révolution la surface engendrée par une droite non située dans un même plan avec l'axe autour duquel elle tourne. Le plus petit parallèle de la surface, engendré par la plus courte distance de la génératrice à l'axe ( 539 ), porte le nom de cercle de gorge de la surface. La projection de la génératrice sur le plan' du cercle de gorge est tangente à ce cercle, car cette génératrice étant perpendiculaire à l'extrémité du rayon du cercle de gorge, il en est de même de sa projection (533).