LIVRE VIII. — L£S COURBES USUELLES. SSq

Gela posé, représentons la surface par son axe OX, son cercle de gorge OG et Tune de ses génératrices GG'. Coupons-la par un plan HLR. Si ce plan rencontre en M la génératrice GG', M sera un point de la courbe d'intersection. Sa projection sur le plan du cercle de gorge sera en P, sur la

Fig. 541.

x; Gv

tangente GP à ce cercle. La génératrice faisant un angle constant avec le plan du cercle de gorge, le rapport de PG à MP resle constant.

Menons par le point M la ligne de plus grande penie MH (555, 556) du plan HLR, par rapport au plan du cercle de gorge, et traçons la droite PH. La droite MH faisant de même un angle constant avec le plan du cercle do gorge, le rapport de PH à MP reste constant ; le rapport de PG à PH est donc aussi constant, et le théorème est démontré (1056).

Corollaire.

1060. Si le rayon du cercle de gorge devient nul, la surface gauche de révolution dégénère en un cône. Donc, la projection d*une section conique sur un plan perpendiculaire à Vaxe du cône de révolution sur lequel elle est placée, est une section conique dont l'un des foyers est la projection du sommet du cône sur le plan de projection et dont la directrice correspondante est la projection sur le même plan de V intersection du plan sécant avec le plan mené par le sommet du cône parallèlement au plan de projection. •

En se reportant aux n"* 1057 et i058, on verra facilement qu'on peut toujours construire un cône de révolution dont l'axe soit perpendiculaire à un plan donné, pris pour plan de projection, et sur lequel se trouve placée une hyperbole ou une parabole donnée. II n'en est pas de même pour l'ellipse, mais on peut toujours construire un cylindre de révolution dont l'axe soit perpendiculaire au plan de projection et sur lequel se trouve placée une ellipse donnée. Comme un cercle est aussi une section conique, on parvient à ce théorème : La projection d'une section conique sur un plan quelconque est une section conique,

34o. GÉOMÉTRIE DANS L*BSPAG£.

^ 1061 . Construire une ellipse ou une hyperbole dont on connaù Vexcentricité -, Vun des foyers, et deux points ou deu,v tangentes ou une tangente et son point de contact.

Nous résolvons ce problème pour montrer de quelle utilité peut être la considération des directrices.

i* Soient F le foyer donné, A et B les deux points donnés; déterminons les longueurs r et r' par les conditions

AFc BF£

puis décrivons deux circonférences des points A et B comme centres avec les rayons r et r'. La directrice correspondante au foyer F sera une tangente commune aux circonférences décrites. En abaissant sur celte tangente DE une perpendiculaire FD et en marquant sur celte perpendicu-

laire les deux points A et A' qui la divisent dans le rapport - 1 on aura

Taxe focal AA' de la section conique ; sa distance focale FF' s'obtiendra

en prenant, dans le sens convenable, suivant la valeur de - » A'F' = AF.

La question sera alors ramenée à construire une ellipse ou une hyperbole, connaissant ses axes.

7? Soient F le foyer donné, MT, M'T', les deux tangentes données (J!g. 542). Déterminons les points 7 et 7' symétriques du foyer par rapport à ces tangentes. La perpendiculaire indéfinie KF' élevée à «^7' par son

. Fig. 54».

milieu K est un lieu de second foyer F' (962, 988). Ce second foyer fait également partie du lieu dont le rapport des distances aux deux points

fixes F et f est égal à ~ • Nous déterminerons donc les points G et G' qui