LIVRE Vlll. — LES COURBES USUELLES

longueur MP est Vordonnée y du point M et Tare AP est son abscisse curviligne x.

Comme le point M peut appartenir à une spire quelconque, son abscisse curviligne peut dépasser un nombre quelconque de circonférences. Soit, par exemple (./îg-. 543), le point /ui situé sur la troisième spire et sur la même génératrice que le point M; il correspond au point /ul» de la droite ABCD. . ., tel que Ctt, = AP, = arc AP. Son abscisse curviligne est donc égale à deux fois la circonférence de la section droite plus Tare AP, et son ordonnée à deux fois le pas Ba plus MP.

THÉORÈME

1005. U ordonnée d*un point de l hélice est proportionnelle à son abscisse curviligne (fig^^^^)-

Prenons un point quelconque [^ sur Thélice et menons son ordonnée jr=i^^. Quand on déroulera le cylindre, le point il viendra en/x, sur la droite ABCD. . .; les ordonnées fx.Ps eijutP seront égales, ainsi que l'abscisse rectiligne AP3 et Tabscisse

MiP

curviligne x = AA'QAA'QAP. Le rapport -^ étant consiam-

AJt 3

ment égal au rapport y— = (en désignant par^rle rayon

du cylindre et par h le pas de Thélice), il en est de même du rapport - •

Corollaire.

1066. La propriété exprimée par ce théorème peut servir de définition à Thélice. Il est facile de voir en effet que, si une courbe tracée sur la surface d'un cylindre de révolution jouit de cette propriété, elle provient de l'enroulement d'une certaine droite sur la surface, c'est-à-dire qu'elle est une hélice.

Soit (./îg'. 544) la courbe AMB, ; pour deux points quelconques M et M' de celte courbe, on a la relation

MPM^' AP ~ AP' '

Si Ton suppose qu'on développe alors la surface du cylindre

344* GÉOnÉTBIB DANS l'eSPAGE.

dans le plan tangent suivant la génératrice AB, (861), la cir* conférence de la section droite en A s'appliquera sur la droite Aa menée perpendiculairement à AB. dans ce plan, et les

Fig. 544.

arcs AP et AP' seront rectifiés en APi et AP',. Les points M et M' viendront d'ailleurs se placer en M, et M'^ sur les perpendiculaires élevées à Aa en P, et 1^,, et l'on aura

M.p.^^MP, m;p',=m'f.