VII. - APPENDICE

Divisions komogrttphiques.

1071. On donne le nom de division à une suite quelconque de points situés en ligne droite. Sur cette droite, qu'on appelle 605^ de la division, on choisit à volonté une origine fixe a, et l'on indique sans ambiguïté la position d'un point quelconque m en donnant le segment am en grandeur et en signe.

Dans un grand nombre de questions de Géométrie, on est conduit à considérer deux divisions dont les points se correspondent un à un suivant une loi déterminée ; on appelle alors homologues deux points correspondants quelconques, et on les désigne par une même lettre^ non accentuée pour le point de la première division, et affectée d'un accent pour le point de la seconde. Soient L et L' les deux bases (Jîg. 546 ), m et m' deux points homologues, a Torigine prise sur la base L et b' l'origine choisie sur la base L' (*); la loi suivant laquelle les points homologues des deux divisions se correspondent s'exprimera alors par une équation entre les segments am et b' m'.

On dit que deux divisions sont homographufues lorsque l'équation qui exprime la loi de correspondance des points homologues m et m' est du premier degré par rapport à chacun des segments am et b'm*^ c'est-àdire est de la forme

(1) A.fl/7i.^'m'-+-B.«/7i-f-C.^V/2'-t-D = 0,

A, B, C, D, étant des constantes données.

Deux divisions homographiques (Vune troisième sont liomogmphiques entre elles; car, soit une autre division homographique de la première; en désignant par c" l'origine et par m" Thomologue de ///, on aura

\^.am,c''m'' -h ^^.am -h 0,.^"/;/" -f- D, = o,

et comme l'élimination de am entre les deux relations précédentes conduit évidemment à une équation de même forme entre b'm' et r'/w", les deux divisions engendrées par les points m' et m' sont homographiques. Souvent, au lieu de donner les quantités A, B, C, D, on donne des couples de points homologues. Or, l'équation (i) ne renferme en réalité que trois coefficients arbitraires, qui sont les rapports de trois quelconques des quantités A, B, C, D, à la quatrième ; d'ailleurs, donner un couple de points homologues, c'est donner une valeur de am et la valeur cor-

(*) Nous supposons, pour plus de généralité, que les origines a et b' no sont pas nécessairement deux points homologues.

respondante de b'm\ c'est-à-dire une équation du premier degré entre les trois rapports considérés. Pour déterminer ces rapports, il est donc nécessaire et suffîsaiit d'avoir trois équalions de ce genre, c*est-à-dire de connaître trois couples de points correspondants. Ainsi deux divisions ho^ mographiqnes sont déterminées par trois couples de points homologues.

1072. Écartons, pour le moment, le cas particulier où A est nul, en nous réservant de Tétudier plus tard ; nous pourrons alors diviser par A, et la relation homographique (i) prendra la forme

(a) ' uni M m' — \.am — |:x.^'///'-f- v ='o.

Les coefficients X et fx ont des significations géométriques remarquables. Nous désignerons toujours, dans la suite, par I le point de la première division qui est l'homologne du point situé à Tinfini dans la seconde, et par J' le point de la seconde division qui répond à l'infini de la première. Si, dans la relation (2), on fait am infini après avoir divisé par am, on trouve

b'y^\=o, d'où \=b'}\

et l'on a> de même, en faisant bhn* infini,

al — f* = o, d'où fi = «I.

La relation homographique [1) peut être transformée de bien des manières. Voici les deux autres formes les plus utiles : 1** L'équation (2) peut s'écrire

[am — ^) (A'/w' — X) = /-,

k étant une constante ; en remplaçant alors X et fx par les valeurs ci-dessus, on trouve

(3) Im.JW=X,

formule très-usuelle, car dans les applications on détermine en général très-aisément les points I et J'.

2° Soient /?, ô, r, trois points choisis à volonté dans la première division; a\ b\ c\ leurs homologues dans la seconde, et ///, w', un quatrième couple quelconque de points correspondants. La relation (3) donne

\a=—,i Ic = r;p-7, d'où ca = la — le = — :

a' J'c ' JV.J c

En formant les valeurs analogues de cb, ma y mb, et les portant dans l'expression du rapport anharmonique

, t ^ ca ma

[abcm) ou -7 I — 7 >

^ ' cb mb

on trouve

(4) [abcm] = [a'b c'm'), cest-à-dire -7 *. — t= -rn - -m' ^ ' ^ " cb mb c'b' mb

Il résulte de cette nouvelle forme de Téquation homographique que, pour que deux divisions soient homographir/ttes y il faut et il suffit que quatre points quelconques de la première aient leur rapport an/uirmonique égal à celui des quatre points homologues de la seconde. C'est cette propriété que M. Chasles, à qui Ton doit la théorie si simple et si féconde des séries horoographiques, prend pour point de départ dans sa Géométrie supérieure,

Fig. 546.

' <» 6 c rf m

i073. Deux divisions abcdmn, . . , ^, ^,r, r/,/«, /i, . . . , sont dites en perspective lorsque les droites bb^ , cc^^ dd^.,, , qui joignent les points homologues, concourent en un même point S {Jîg, 546).

Deux divisions en perspective sont homographiques, car (312) le rapport anharmonique de quatre points quelconques de Tune est égal au rapport anharmonique des quatre points homologues de l'autre. Le point d'intersection (a,a^) des deux bases L et L, est alors un point homologue commun. Réciproquement, si deux divisions /lomograp/tiques abcd..., a^b^c^d^., . ont un point fiomologue commun (a,»,), ces deux divisions sont en perspective; ce théorème fondamental n'est que la proposition du n* 317 avec un autre énoncé.

i074. Examinons maintenant le cas où A est nul. La relation homographique (i) se réduit alors à

B.rw2-f-C.6'/7i'-+-D = 0,

ou, comme B et C ne sauraient être nuls à la fois, à

am = A(b'm'-h),

h et A' étant deux constantes. Lorsque m est en /i, le premier membre

35o. GÉOnÊTRIR DANS l'bSPACE.

6*annule, et comme m* coïncide alors avec Thomologue a' de a, on voit que h = h' a' et, par suite, que Téqualion précédente peut s'écrire

am = k[b'm' — b'a') ou ain = A.a'm'.

Donc les deux droites L et L' so/U divisées en parties proportionnelles. On dit^ dans ce cas, que les deux divisions homographiques sont semblables.

Dans deux divisions semblables^ les points à Vinfini sont homologues ; car, d'après l'équation précédente, am et ^z'/n' deviennent infinis en même temps. Réciproquement, deux divisions homographiques dont les points à Vinfini se correspondent sont semblables ; car si dans Téq nation (i), préalablement divisée par am.Vm\ on fait ù la fois am et Vm' infinis^ on voit que A = o.

Lorsque le coefficient /- qui figure dans la relation précédente est égal à + 1, les deux divisions sont dites égales; elles sont égales et de même sens pour A" = i , égales et de sens contraires pour /• = — i .

Divisions homograpàiques tle même base.

i075. Deux divisions homographiques • peuvent être situées sur une même droite L ; on appelle alors point double tout point de cette droite qui, considéré comme appartenant à la première division, coïncide avec son homologue de l'autre division.

Deux divisions liomographiques de même base^ qui ont trois points doublesy coïncident; car a, 6, c, étant les trois points doubles, et (m, m') un couple quelconque de points homologues, l'égalité des rapports anharmoniques (âbcm) et (abcm') exige que /// et m' coïncident. Il suit de là que deux divisions liomographiques distinctes et tracées sur une même droite ne peuvent avoir plus de deux points doubles,

i076. Avant d'étudier plus complètement la question des points doubles, il importe de faire connaître la manière dont on détermine simultanément la position de deux points sur une droite, ce qui amènera naturellement quelques réfiexions sur le rôle des imaginaires en Géométrie.

Soient [fig, 200) 0 une origine fixe sur une droite X'X, A et B deux points quelconques de cette droite, et I leur point milieu ; on a toujours (305), quelle que soit la situation relative de ces points,

(i) 1(0A4-6b) = 0I, oa.ob = ôï'-âï'.

Le produit OA.OB est dit la puissance de V origine 0 par rapport au couple (A, B). • Cela posé, si l'on désigne par/? la distance 01 de l'origine au milieu do