LIVRR VIII. — LES COURBES USUELLES

couple (A, B) et par 9 la puissance de lorigine par rapport à ce couple, les segments OA et OB seront les racines de Téquation

Les nombres /? et q sont dits les éléments du couple (A, B) ; leur connaissance détermine simultanément les points A et B.

Les nombres donnés /? et 7 étant réels, les segments OA et OB seront réels ou imaginaires (conjugués), selon que p^ — q sera positif ou négatif; dans le dernier cas, les deux points A et B cessent d'exister, et Ton dit qu*ils sont imaginaires.

Deux points imaginaires peuvent avoir des relations réelles avec des points réels ; ce sont des relations contenant d'une manière symétrique les segments imaginaires conjugués, de telle sorte que, tous calculs effectués, il ne reste plus que des équations entre les éléments réels/? et 7 du couple imaginaire. Soient, par exemple, deux couples de points (A, B], (C, D], situés sur une même droite ; le premier couple est réel et défini

par réquation

dans laquelle p^ est supérieur à q; le second couple est imaginaire et répond à Téquation

dans laquelle p'^ est inférieur à q\ Ces quatre points pourront former une figure harmonique, c'est-à-dire qu'on pourra avoir la relation

CA DA (^) CBDB=~''

qui, tous calculs effectués, revient à

(3) q-hq'=^pp'^

La relation (2) n'a pas de sens explicite; on n'y doit considérer les segments que comme des symboles qui, traités par les règles ordinaires de l'Algèbre, conduisent à la relation (3); en d'autres termes, les relations telles que ( 2 ) ne sont que des manières symboliques, plus ou moins commodes, d'écrire des équations telles que (3) entre des éléments réels.

En Géométrie, comme en Algèbre, l'introduction des imaginaires permet de généraliser les énoncés, évite les subdivisions, et leur emploi transitoire peut fournir des démonstrations élégantes et rapides.

1077. Revenons maintenant à l'étude de deux divisions homographiques de même base.

Rapportons les deux divisions à Une origine commune, et, pour plus de simplicité, choisissons pour cette origine le milieu 0 des deux points I

et J' homologues de TinQni [fig, 547] ; on aura alors OJ' = — 01, c'est-àdire (1072) >= — p, et l'homographie des deux divisions s'exprimera par réquation ^

Om,Om' — \[Qm - Om') H- v = o, ou

(4) Om.O//i' + )..w/î/H-v = o.

Nous savons d'ailleurs que ^ = OJ' = — 01 ; et, pour avoir la signifi- ' cation géométrique de v, il suffit de supposer que /» est en 0 ; car alors, m* coïncidant avec l'homologue 0' de 0, l'équation ( 4 ) donnée. 00' -h v = o, d'où v = -OJ'.00'= 01.00'.

Cela posé, cherchons les points doubles. Pour qu'un point m soit double, c'est-à-dire pour qu'il coïncide avec son homologue m\ il faut et il suffit qu'on ait, en vertu de l'équation (4) j

0/w 4. V = o ou 0/w = ± v^OJ'. 00'.

On conclut de là que deux divisions homographiques de même base ont deux points dmdjles réels ou imaginaires^ et que le milieu des points dou-^ blés coïncide avec le milieu du segment W formé par les homologues de r infini.

Fîg. 547.