LIVRE YIll. — LES G0UBBE9 USUELLES

puisque, a étant le conjugué harmonique de a par rapport aux points e et/, on a

v = Ôe = Oflr.Oa.

En exprimant que a' est l'homologue de « considéré comme appartenant à la première division, et que a^ est l'homologue de a considéré comme 3ppartenant à la seconde division, il vient donc

O^.Ofl' — 0/z.Oa = — X.W ou O/z.a/ï' = — X.tffl', 0«,.Ofl — Ort.Oa = — 'k,a^a ou Oa,aa^=:'k,aa^ ,

d'où, eh divisant,

oiti' aa'

ce qui prouve que a est conjugué harmonique de a par rapport à a' et à/i,. Ce théorème permet de construire le conjugué harmonique d'un point par rapport aux deux points doubles, sans connaître ces points doubles.

• 1079. Pour que deux divisions homngruphiqiœs de même hase soient semblables y il faut et il suffit (1074) que l'un des points doubles soit à V infini.

On voit immédiatement que : i° pour que deux divisions soient égales et de même sens y il faut et il suffit que les deux points doubles soient à l'infini ; a** pour que deux divisions soient égales et de sens contraires, il faut et d suffit que l'un des points doubles soit à C infini et que le second point double soit le milieu de tous les segments mm' formés par deux points homologiœs quelconques .

Faisceaux homographiques.

1080. On donne le nom àe faisceau à un système quelconque de droites issues d'un même point et situées dans un même plan (311 ).

On dit que deux faisceaux sont homographiques^ lorsqu'on peut trouver •deux droites L et L' qui les coupent suivant deux divisions homographiques. Il est clair {\w'alors toute section rcctiligne L, du premier faisceau sera homogrnphique d'une section rectiligne quelconque L', du second faisceau; car, les divisions L et L, étant en perspective sont homographiques (1073) ; il en est de même de L' et L', , et comme L et L' sont homogruphiques par hypothèse et que deux divisions homographiques d'une troisième sont homographiques entre elles (1071) , les deux divisions L, et L', sont homographiques.

Pour que deux faisceaux soient homographiques , il faut et il suffit que quatre droites quelconques du premier aient le même rapport anharmonique que les quatre droites homologues du second (310 et 1072, a*). II. 23

Deux faisceaux homograpfùques sont déterminés par trois couples eic rayons homologues (1071 ).

Quand deux faisceaux homographiques ont un rayon homologue commun y If 'S autres rayons luwiologiœs se coupent deux h deux sur une ligne droite : c'est le théorème fondamental du n** 315 avec un autre énoncé.

1081 . Deux faisceaux homographiques de même centre ont toujours deux rayons doubles (réels ou imaginaires), c'est-à-dire deux rayons tels, que chacun d'eux considéré comme appartenant au premier faisceau coïncide avec son homologue dans le second faisceau. On obtient ces rayons en joignant le centre commun des deux faisceaux aux points doubles des deux divisions homographiques, déterminées par les deux faisceaux sur une transversale arbitraire.

Lorsqu'un angle tourne autour de son sommet S (^2^. 548 ), ses deux

côtés engendrent deux faisceaux homographiques concentriques, car les angles du premier faisceau étant respectivement égaux à ceux du second, quatre droites quelconques du premier faisceau ont (314) le même rapport anharmonique que les quatre homologues du second. Les rayons doubles de ces deux faisceaux sont évidemment imaginaires, et il importe de remarquer que la position de ces rayons doubles imaginaires est indépendante de la grandeur de l'angle. En effet, soit L une transversale quelconque et l'SI, O'SO, J'SJ, trois positions de l'angle donné relatives, la première au cas où le second côté est parallèle à L, la seconde au cas où le premier côté est perpendiculaire à L, et la troisième au cas où le premier côté est parallèle à L. Tout revient à trouver les points doubles imaginaires des deux divisions homographiques que les côtés de l'angle tracent sur L. Or, I et J' sont les homologues de l'inHui de ces deux divisions, et 0, qui est évidemment leur milieu, est le milieu des points doubles ; ces points sont donc de part et d'autre de 0 à une distance

égale (1077) à

v/ÔJ'.OÔ'=v'-OJ'.0'0.

Mais puisque O'SO = J'SJ, l'angle O'SJ' est droit, et Ton a

0'0.0J'=SÔ'; donc, la distance du point 0 aux deux points doubles est égale à SO V*" ^î