LIVRE YlII. — LBS COURBES USUELLES
d'où l'on voit qu'elle dépend de la distance de la transversale L au sommet S de Tangle, mais en aucune manière de Tangle tournant.
Réciproquement, lorsque deux divisions liomographiques fie même base ont leurs points doubles imaginaires, on peut considérer ces deux divi.sions comme tracées par un certain angle de grandeur constante tournant autour {le son sommet. En elTet, I et J' étant les homologues de HnOni, 0 leur milieu et 0' son homologue, décrivons une circonférence sur O'J' comme diamètre, jusqu'à la rencontre S (ou S,) de la perpendiculaire élevée par 0 sur la base L. L'angle OSO' en tournant autour du point S trdcera sur L deux divisions homograpbiques dont (0, 0'), (1,» ), (qo , V) seront trois couples de points homologues; car si l'on mène l'SJ parallèle à L, les angles OSJ, O'SJ', l'SO, étant droits, les angles JSJ', O'SO, l'SI, seront égaux. Donc ces deux divisions, ayant trois couples do points homologues communs avec les deux divisions proposées, ne diffèrent pas de cellesrci.
Intersection d'aune droite et d'un cercle, — Points circulaires à l'infini,
1082. Il résulte du n* 314 que : i" lorstpCun point mobile m décrit un cercle, les droites P m, V m, qui joignent ce point à deux points fixes, P et P', pris à volonté sur la circonférence, forment deux faisceaux homographiques ; 1l^ lorsqu'une droite mobile enveloppe un cercle, elle trace sur deux tangentes fixes de ce cercle deux divisions liomographiques.
Une droite quelconque L du plan d\in cercle C rencontre toujours la circonférence en deux points (réels ou imaginaires)^ car, les deux divisions homographiques tracées sur L par les rayons P///, P'/n, des deux faisceaux, ont toujours deux points doubles (réels ou imaginaires). Le milieu des deux points d'intersection est toujours réel : c'est la projection 0 du centre C du cercle sur la droite L; car si l'on choisit pour les points P et F (fig. 549) les extrémités du diamètre perpendiculaire à L, les deux points 1 et J', homologues de l'infini dans les deux divisions homographiques a€. . . , a'€'. . . , tracées sur L, coïncident avec 0, de sorte que 0 est le milieu des deux points doubles. Le carré de la distance des deux points d'intersection au point 0 est égal à la puissance du fjoint 0 par rapport au cercle, changée de signe. Car, puisque I et J' sont confondus avec 0, le produit Oa.Oa' est constant (1077), et le carré de la distance du point 0 aux deux points doubles est égal à cette constmte ; or, si ^ et ^' sont les deux points homologues qui répondent au point /?, milieu du demi-cercle P/nP', Op et 06' sont en valeur absolue égaux à OP et à OP', et la constante est égale à — OP'.OP.
1083. On doit considérer tous les points à rinfmi d'un plan P comme situés sur une môme droite qu'on nomme droite de Vinfini, Voici rom-
GÉOMÉTRIE DANS l'eSPAGB.
ment on est conduit à cette conception. Soient Q un second plan non parallèle à P, S un point fixe extérieur aux plans P et Q, P' le plan mené par S parallèlement à P, et enfin D la droite d'interjection des plans P' et Q. Toute droite menée du point S à un point quelconque placé à l*in6ni dans le plan P est située dans le plan P' et, par suite, perce le plan Q sur la droite D; donc cette droite D est la perspective, faite du point de vue S sur le tableau Q, de tous les points placés à Tinfini dans le plan P. Or, comme une ligne plane, dont le plan ne passe pas par Tœil S, ne peu! avoir pour perspective une droite qu'autant qu'elle est elle-même une ligne droite (588), on doit considérer les points à Tinfini du plan P comme situés en ligne droite.
Cette notion acquise, considérons un cercle C (fi^, 549) et la droite de
Fig. 5Î9.
yr
rinfini située dans son plan. P et P' étant deux points fixes pris à volonté sur la circonférence C, les rayons P//i et P'w tracent sur la droite de rinfmi, quand le point/» décrit le cercle, deux divisions homographiqu^ dont les points doubles imaginaires appartiennent à la fois à la droite et au cercle. Or, si ta est un point pris à volonté dans le plan du cercle, les parallèles à.P/w et à P'/w menées par ce point vont couper la droito de rinfini aux mêmes points a et à que les rayons P//i et P'/w; d^ailleurs, Tangle atùa' de ces parallèles est constant, puisque, en vertu de la propriété de Tangle inscrit, l'inclinaison mutuelle des droites P/n et Vm ne varie pas; donc, les points d'intersection du cercle et de la droite de l'infini sont les points doubles imaginaires des deux divisions homographiques tracées sur cette droite, par un angle de grandeur constante tournant autour du point &».
En faisant varier la position et la grandeur du cercle ainsi que la position des points P et P' sur le cercle, on ne fait que changer la grandeur de l'angle qui tourne autour du point fixe &>, et comme la situation des
LIYBE VIII. — LES COUBBES USUELLES. 357*
points doubles imaginaires est indépendante (1081) de la grandeur de l'angle, on arrive à celle conclusion : Tous les cercles situes dans un plan ont les deux mêmes points imaginaires communs avec la droite de l'injini de ce plan. On donne d après cela à ces deux points, dont la considération est souvent utile, le nom de points circulaires à Vinfini.
Deux cercles quelconques, C et C, admellenl donc la droite de TinBni pour corde commune. Vaxe radical L des deux cercles est une seconde corde commune; en eilet, les points réels ou imaginaires ou cet axe rencontre l'un quelconque des deux cercles, sont de part et d'autre du point 0 à une distance égale à la racine carrée de la puissance, prise en signe contraire, du point 0 par rapport au cercle considéré (1082); et comme, si L est Taxe radical, le point 0 a la même puissance par rapport aux deux cercles, on voit que l'axe radical coupe ces cercles aux deux mêmes points.
Ainsi, deux cercles quelconques ont toujours quatre points d'intersection situés deux à deux sur deux cordes communes réelles, qui sont l*axe radical et la droite de V infini. Les deux points d^ intersection situés sur raxe radical peuvent être tous deux réds ou tous deux imaginaires. Quand les cercles sont concentriques , Taxe radical passe à Tinfîni, les deux cordes communes se confondent, et les deux cercles ont un double contact imaginaire à r infini. Ces dernières idées ont élé émises d'abord par Poncelel (Propriétés prrjcctives, i™ section, chapitre 11); mais c'est M. Chasies qui, le premier, a présenté avec rigueur rinlroduction des imaginaires en Géomélrie.
Involution de deux divisions.
1084. On dit que deux divisions homographiques de même base L sont en involution, lorsqu'on peut trouver sur la droite L un point a qui, considéré successivement comme appartenant à Tune ou à l'autre division, a toujours pour homologue le même point a'.
L'homogrciphie de deux divisions de môme base s'exprime (1077) par la relation générale
(i) 0/w.O/w' -h OJ'./w//i'-i- V = o,
0 étant le milieu des points 1 et J' dont les homologues sont à TinGni. Pour que Tégalilé
Oa.Oa'-^Or.aa' -f- v = o
ne change pas quand on permute a el a' , il faut et il suffît que OJ'— o. Donc, pour que deux divisions homographiques soient en involution, il faut et il suffit que les points \ et l\ homologues de l'infini, coïncident. La relation (i) se réduit alors à
(2) Oa/i.O/«'= const.,
et la symétrie de cette équation, par rapport à O//1 et à O//1', montre que
tous les couples de points homoloo:ues jouissent de la même propriéié que le couple (m, /«'). Ainsi, flans deujc divisions homographiques en infoUtriion, tout point considéré successivement comme ap/jartennnt à la première et à la seconde division a toujours le même homologue.
Le point 0, où sont réunis les points 1 et J' et dont le conjugué est è rînfini, reçoit le nom de point central de l*involution,
i085. L'équation (a), très-commode à cause de sa simplicité, est trop particulière. Lorsqu'on veut prendre pour origine commune des deux divisions, non plus le point central 0, mais un point quelconque a de la base, il suffit d'exprimer dans la relation
am.am' — \.am — a.am' h- v = o
que les points I et J' coïncident, c'est-à-dire, puisque (1072) \ = al' et pt = al, que \ = u. L'équalion d'involulion est alors
(3) am.am' — X (ût/îi -+- flfw' )-+-* = o.
On voit qu'elle ne renferme que deux coefficients arbitraires \ et v, de sorte quV7 sujfit de deux couples de joints homologues pour déterminer deux divisions homogrnphiques en involution.
Soient (/?,«'), (^, ^'), (c, c'), trois couples de points homologues de deux divisions en involution : quatre quelconques de ces six points ont leur rapport anharmonique égal à celui des quatre points homologues; ainsi Ton a, par exemple, [nbcb')^ (a'b'c'b), car les deux systèmes abcb'j a'b'c'by sont homographiques. Réciproquement, /jowr^/^^ trois couples de points («f, a'), (b^ b')^ (c^ c' )^ en ligne droite, soient en involution, c'est-à-dire pour que les points c et c' soient deux points homologues des deux divisions homographiques en involution déterminées par les deux couples (/?, a') et (ft, b'), il suffit que quatre de ces points aient leur rapport anharmonique égal à celui de leurs homologues ; car, si Ton a, par exemple, (abcb') = (a'b'c'b), les deux divisions abcb', a'b'c'h, seront homographiques et, au point b, considéré tour à tour comme appartenant à la première et à la seconde division, répondra toujours le même point b'.
Il résulte de là que r involution est une propriété projcctive.
i086. On sait que deux divisions homographiques de même base ont deux points doubles réels ou imaginaires, dont le milieu coïncide avec le milieu des points I et J' homologues de l'infini. Donc, deux divisions en involution ont deux points doubles e et f, réels on imaginaires, dont le milieu est le point central 0\ cela résulte d'ailleurs de la relation (2) qui donne pour les segments 0<? et 0/ relatifs aux points doubles.
Oi? = -f )/0a,0a', Of= — \/0a.0a', (//,//') étant un couple qiinlconque de points homologues.
LIVBB TlII. — LES GOURBIS USUELLES. 359-
Ces expressions montrent eucoro que le segment ef, formé par les deux points doubles réels ou imaginaires y est divisé harmoniquement par chaque couple €le points Iwmolngues {a, a'), ( by b')^ ... {* ). Le point central ayant même puissance par rapport à tous les couples (fi,a'\ (b, b'),,,, de points homologues, appartient à Taxe radical de deux cercles quelconques ayant respectivement pour cordes deux segments quelconques aa\ bb'..,. Donc : i" siy sur les divers segments aa\ bb\ cc\ . . . formés par chaque couple de points homologues, on décrit des circonférences passant toutes par un même point quelconque extérieur h la base, ces circonférences ont un second point commun et leur corde commune coupe la base au point central; a" les circonférences décrites sur 1rs divers segments aa\ bb'y cc'y.. . comme diamètres, ont pour axe radical commun la perpendiculaire à la base élevée par le point central,
1087. Actuellement, pour nous rendre compte de la situation des points considérés^ distinguons deux cas, suivant que les points doubles e et / sont réels ou imaginaires.
i® Si les points doubles e et f sont réels, comme le segment e/ divise harmoniquement chacun des segments aa\ bb', ce',,,., on voit (329) que le point central 0 n'est jamais compris entre deux points conjugués qnelconques , tels que a et a', et que deux segments quelconques n'empiètent jamais l'un sur r autre : ils sont , comme aa' et bb', compris l'un dans l'autre, ou bien, comme aa* et ce', de côtés difîérenls de 0, et par suite extérieurs l'un à l'autre (J!g, 55o). Les deux points communs
Fig. 55o.
xiux cercles décrits sur aa', bb', ce',. ,, , comme diamètres, sont ici imaginaires, mais chacun de ces cercles coupe orthogonalement (328) le cercle ef. Étant donnés deux couples (a, a') et (^, b') formant deux segments qui n'empiètent pas lun sur Tautre, il est aisé de trouver les points doubles e et /de Tinvolution déterminée par ces deux couples; sur aa' et bb' on décrira deux circonférences passant par un même point pris à volonté hors de la base; la corde commune coupera la base au
(*) Il résulte de là que lorsque l'un des points doubles « est h l'infini , l'autre point double f est le milieu de tous les segments atJ ^ bb', ce',. . . .
36o. GÉOMÉTRIE DÀ1«I8 L*KSPAGB.
point central 0, et la tangente menée de ce point au cercle décrit sur aa' comme diamètre sera le rayon du cercle ef,
a** Si les points doubles e et f sont imaginaires y le produit Oa,Oa' e&i négatif; de sorte que tout couple de points homologues (a, a') est séfMré par le point central 0, et fjue deux segments quelcomptcs aa\ bb\ empiètent l'un sur l'autre {fg, 55 1). Les deux points P et P' commtms mix divers-
Fig. 55i.
ivrôi
: kr- .-
cercles décrits sur na\ bb\ cc\, , . comme diamètres sont donc réels, et de c/uzcun des points P et P' on voit les divers segments aa\ bb\ cc\ , . .
sous un angle droit; on a d'ailleurs OP = Oa.Ort'= — Oe , comme oi> pouvait le prévoir d'après le n** 1077. Inversement, un angle droit picotant autour de son sommet trace sur une droite quelconque deux divisions en involution qui n'ont pas de points doubles et dont le point central est la projection du sommet de r angle sur la droite (i081 ). Étant donnés deux segments aa' et bb' d'une involution sans points doubles, en décrivant deux circonférences sur aa' et bb' comme diamètres, on obtiendra le point P, et il suffira de faire pivoter un angle droit autour de ce point pour avoir tous les couples de points homologues.
1088. Les points doubles e et f de deux divisions Jwmographiques quelconques, abc^ . . . , a'b'c',,. ., de même base, forment une involiuion avec chaque système de deux couples tels que ab' et a'b; car on a
(abcf) = (a'b'ef) = {b'a'fe) (310),
de sorte que les deux figures abcf^ b' a'fe^ sont homographiques et que le point ff, corisidéré tour à tour comme appartenant à Tune et à l'aulre, a toujours le même homologue/.
On conclut de là (1086) que : i" les trois circonférences, menées par un même point g quelconque extérieur à la base et par les trois segments ab'y ba'y ef^ passent toutes trois par un second point commun; a** les circonférences décrites sur ab', ba'j ef comme diamètres, ont même axeradical.
Ce théorème donne ]e moyen de construire les points doubles de deux divisions homographiques de même base , déterminées par trois couples (a, a'), (^, ù')y (c, c'), de points homologues.
g" étant un point pris à volonté, on décrira les deux circonférences circonscrites aux triangles /o'/r^', f^a'b, qui se couperont en un second point^'; on décrira de même les deux circonférences circonscrites aux triangles ^ac', ga'cy qui se couperont en un second point ^\ la circonférence déterminée par les points g^ ^ ^ ^, coupera la bcise des deux divisions aux deux points doubles (réels ou imaginaires). En effet, en vertu du premier corollaire, le cercle déterminé par les points doubles e et / et par le point g doit contenir les points ^ et ^. — La construction se prèle à tous les cas.
Relations métriques entre trois segments en involiition,
1089. Soient (/?, cf), (b^ b'), (c, c'), trois couples de points (réels ou imaginaires) situés en ligne droite, et
x'— a;?,ar^-7, = o, a:*- a/?,.r + </,= o, x* -- ip^x -{- q^ = o
les équations qui les représentent, en adoptant pour origine commune un point A arbitraire de la base. Pour que les trois couples forment une involution, il faut et il suffit que chacun d'eux satisfasse à la relation
km. km' — > [km ■+■ km') -j- v= o;
de là les trois équations
y, — a/?, X -h V = 0, y, — a/?,). H- V = o, ^3 — a/?jX H- V = o,
qui doivent être satisfaites par les mêmes valeurs de a et de v. La condition d'invoiution résulte donc de l'élimination de X et de v entre ces trois équations; on trouve
Cette équation (i) résulterait pareillement de Télimination du paramètre arbitraire X* entre les deux relations
qui peuvent dès lors remplacer la condition (i). En vertu de ces valeurs, Téquation x' — a/73 x h- ^3=0 peut s'écrire
telle est l'équation qui détermine le troisième couple (r, c') en fonction des éléments des deux premiers (a, a*) et (b, b').
1090. Dans les applications, il est souvent plus commode de substituer aux éléments /y,, 7,, /?,, q„ p^y q^, les segments ka, ka\ kb, kb\ kcy
Ac'; or si a, p, 7, désignent respectivement les milieux des segments a^\ bb'^ cc\ on a
et par suite la condition d*invo!ution (i) s'écrit
(2) . A«.Afl'.p7 4-AA.AA'.7a-hAc.Af'.ap = o.
Cette équation fondamentale en donne beaucoup d'autres. Par exemple, si Ton fait coïncider successivement lorigine arbitraire A avec chacun des points «, a', b, b\ r, c', on obtient le groupe
ab.ab' «^ a'b.a'b' og ûc.ûc' ~ a7 a'ca'c' 07'
ht.hc' ba.baca.ca'
fa' va
b'c.b'c' b'a.b'a' c'a.ca'
f7 va
cb.cb'
En remarquant que les équations écrites sur la même horizontale ont le même second membre, on a encore
ab.ab' a'b.n'b' ac.ac' ~ a'c.a'c' br.bc' b'c.b'c' ba.ba' ~ b'a.b'a'' ca.ca' c'a. c'a'
cb.cb' c'b.db'
Enfin, en multipliant entre elles de toutes les manières possibles trois des six équations (3), prises de telle façon que le produit des seconds membres soit égal à 1, on obtient
/ ab'.bc'.ca'^ -^ a'b.b'c.c'a, \ ab'.bc.c'a':= -^a'b.b'c'.ca, ^ ' "^ ab.b'c'.ca'^-a'b'.bc.c'a,
ab.b'c.c'a'= ^ a'b'.bc'.ca.
Faisceaux en i/iQolulion.
1091. On dit que deux faisceaux homographiques de même centre sont ea iainylution^ lorsqu'on peut trouver une droite qui les coupe suivant deux divisions en involulion. Alors, toute autre section recliligne des deux faisceaux donnera deux divisions en involution (1085).
Dans deux faisceaux en involution^ tout rayon considéré tour n tour comme appartenant à l'un et à l'autre Jaisceaa a toujours le même
LITRB TIII. — LIS GOUBBBS USUELLES. 363.
homoiogue. Inversement, deux faisceaux homographiqties de même centre sont en insolation ^ il existe un rayon qui y considéré successivement comme appartenant au premier et au second faisceau^ ait toujours le même ho^ mologue (i084).
Deux faisceaux en involution sont déterminés par deux couples de rayons fu)mologues.
Six rayons issus d'un même point et conjugués deux à deux sont en involution si quatre d'entre euxy convenablement choisis, ont même rapport anharmonique que leurs conjugués; et alors quatre quelconques de ces rayons auront même rapport anharmonique que leurs conjugués (i085).
Dans deux faisceaux en involution, il y a toujours deux rayons doubles réels ou imaginaires; les rayons doubles forment un faisceau harmonique avec deux rayons homologues quelconques (1086).
Un angle droit tournant autour de son sommet engendre deux faisceaux en involution dont les rayons doubles sont imaginaires (1087, a**).
1092. Dans deux faisceaux en involution^ il existe toujours un couple de rayons liomologues rectangulaires.
En effet, soient a, a\ 6, b\ c, c\... les points conjugués deux à deux, suivant lesquels une transversale L, prise à volonté, coupe les deux faisceaux dont nous désignerons par 0 le centre commun. Les circonférences circonscrites aux deux triangles Oaa\ Obb\ se couperont en un second point 0', qui ne sera pas symétrique de 0 par rapport à L, à moins que les angles aOa', bOb\ ne soient droits. 11 existera donc en général un cercle unique passant par 0 et 0' et ayant son centre sur L; si n et /i' sont les points où ce cercle rencontre la droite L, n et n' seront deux points conjugués de l'involution tracée sur L par les deux faisceaux (1088), et l'angle /z 0/2' sera droit. Ainsi, il y aura un couple unique de rayons homologues rectangulaires. Mais si les angles aOr/, bOb'^ étaient droits, 0 et 0' seraient symétriques par rapport à L, et tout cercle passant parO et 0' ayant son centre sur L, tous les autres couples de rayons homologues seraient rectangulaires. Ainsi le couple de rayons homologues rectangulaires est unique, à moins que tous les couples de rayons homologues ne soient à angle droit; dans ce cas particulier, les rayons doubles sont imaginaires (1087, a**).
1093. Toute transversale'L menée dans le plan d'un quadrilatère ABCD rencontre les quatre côtés et les deux diagonales en six /Mints, a et a', b et y y c et c\ qui sont en involution (fig, 55a) ; car les faisceaux homographiques (AB, AC, AD, Ac'), (CB, CA, CD, Ce') déterminent sur L deux divisions homographiques, et l'on a
(acb'c') = (bca'c') ou (310) (acb'c') = {a'c'bc),
d'où Ton conclut (1085) que les segments aa\ bb\ cc\ sont en involution.
Les six droites menées d\in point quelconque 0 du. plan d*un quadrilatère ABCD aux sommets et aux points de concours E <?/ F fies côtés opposés y sont en involution ; car le quadrilatère OâFB, dont OF et ÂB sont les diagonales, détermine, d'après le théorème précédent, six points en involution sur la transversale DC ; donc, les droites OA et OC, OB et CD, OE et OF, qui passent par ces six points, sont en involution.
En plaçant le point 0 à Tinterseclion des deux circonférences décrites sur AC et BD comme diamètres, les couples de rayons homologues OA et OC, OB et OD, seront rectangulaires; donc, le troisième couple OE et OF le sera aussi ( 1092 ], et, par suite, la circonférence décrite sur £F comme diamètre passera par les deux points communs aux deux premières; donc, les trois circonférences décrites sur les trois diagonales AC, BD, EF, d^un quadrilatère conipUt comme diamètres, se coupent aux deux mêmes /M)ints; d'où Ton peut conclure immédiatement le théorème du n** 393.
Fig. 553.
1094. Quand un quadrilatère ABCD est inscrit dans un cercle, une transversale quelconque L située dans son plan rencontre les deux couples de côtés opposés et le cercle en trois couples de points (a, a'), (^, b')^ (^i/)) qui sont en involution [fig, 55a).
En effet, les droites qui joignent aux points fixes A et C un point
1095. Qufmd un quadrilatère abcd est circonscrit à un cercle^ si d'un point 0* situé dans son plan on mène des droites Oa, Où, Oc, Od, à ses sommets et deux tangentes OE, OF, à la courbe, les trois couples de droites Oa et Oc, Ob et Or/, OE et OF, sont en involution [fig. 553).
En effet, une tangente, en roulant sur le cercle, trace sur les tangentes
