COURBES USUELLES
fixes ab et cd deux divisions homographiques (3i 4, 1080). Les droites menées du point 0 à ces divers points forment donc deux faisceaux homographiques dont OE et OF sont les rayons doubles. D'ailleurs, comme a et d, b et c, sont deux couples de points homologues des deux divisions ; Oa et Or/, 06 et Oc, sont deux couples de rayons homolo^es des deux faisceaux. Donc (1085), les trois couples Oa et Oc, 06 et Or/, OE et OF, sont en involution.
Au lieu de prendre les deux couples de sommets opposés, on pourrait prendre un couple de sommets opposés et les deux points de concours e et/des côtés opposés ; le théorème subsisterait, car ces quatre points sont aussi les sommets d*un quadrilatère circonscrit au même cercle.
Il résulte du théorème précédent que si un quadrilatère circonscrit à un cercle se déforme de telle sorte que trois de ses sommets glissent sur trois droites passant par un même pointy le quatrième sommet décrira aussi une droite passant par ce point.
On déduirait aisément de là une solution de ce problème : Circon-scrire à un cercle un triangle dont les sommets reposent sur trois droites données et passant par un même point.
Le théorème du n" 1094 est dû au célèbre géomètre français Desargues (première moitié du xvii* siècle); toutefois, les anciens (Collections mathématiques de Pappiis) en ont connu des cas particuliers.
Génération et classification des coniques,
1096. On nomme coniques les sections planes d'un cône quelconque à base circulaire.
GfiOMÉTEIB DANS l'B8PACB.
LorsqiCune droite mobile envc^ loppc un cercle y elle trace ^ sur deux tangentes fixes de ce cercle y deux divisions homogrnphiques .
On sait que :
LorsqiCun point mobile décrit un cercle, les dnûtes qui joignent ce point à deux points fixes de la circonférence forment deux faisceaux homographiques.
Une conique n'étant que la projection d*on cercle, et Thomographie de deux divisions ou de deux faisceaux se conservant en projection, on voit que : *
Lorsqu'une droite mobile enveloppe tuie conique, elle trace, sur deux tangentes fixes de cette conique, deux divisions homographiqaes.
Lorsqu^un point mobile décrit une conique, les droites qui joignent ce point à deux points fixes de cette conique forment deux faisceaux homographiques,
i097. RÉCIPROQUEMENT :
La courbe, lieu des intersections des rayons homologues de deux faisceaux liomographiques (situés dans tm même plan) y est une section conique.
Soient P et P' les centres de deux faisceaux [fig. 554). Observons :
i" Qu'une droite quelconque du plan rencontre la courbe en deux points (réels ou imaginaires); car les deux divisions déterminées sur cette droite par les deux faisceaux sont homographiques; elles ont donc deux points doubles réels ou imaginaires.
a* Que la courbe passe par les centres P et P' des deux faisceaux; car la droite PP' considérée comme un rayon du faisceau P, rencontre en P' le rayon homologue du faisceau P'. On voit de même que la courbe passe en P.
y Que la tangente en P est le
La courbe, enveloppe des flroites qui joignent les points homologues de ileux divisions Itomographiques ( dont les bases sont dans un mente plan), est une section conique.
Soient Oo: et Oj^ les bases de deux divisions [fig, 555). Observons :
I** Que, par un point quelconque du plan on peut mener à la courbe deux tangentes (réelles ou imaginaires); car les deux faisceaux concentriques qu*on obtient en joignant ce point aux divers points des deux divisions sont homographiques ; ils ont donc deux rayons doubles ( réels ou imaginaires).
a" Que la courbe est tangente aux bases Ox et Qydes tleux divisions; car la droite Ox unit deux points homologues des deux divisions , savoir : le point 0 considéré comme appartenant à la division Qy et le point homologue de la division Ox.
On voit de même que la courbe touche Oy.
3" Que le point de contact P de
LIVRE VIII. — LES rayon du faisceau P qui est V homologue de la droite P'P considérée comme rayon du faisceau P'; car, lorsque le point a de la courbe vient en P, le rdyon Pa devient langent en P et son homologue P'a vient se confondre avec P'P. De même, la tangente en P' est le rayon du faisceau V qui est r homologue de la droite PP' considérée comme rayon du faisceau^.
Fie. 554.
C0UEBI8 USUELLES. 867.
la tangente Qjrest le point qui, sur cette droite, répond au peint O considéré comme appartenant à la division Or; car, lorsque la tangente a/7/;/ se confond avec Ox, le point a devient le point de contact P et son homologue a arrive en 0. De même, le point de contact P' tle la tangente Oy est r homologue du point 0
j considéré comme apjmrtenanf à la division Ox.
Cela posé, « par le point de concours 0 des tangenleâ en P et en P' à la courbe conaidérée P^P', menons dans l'espace une droite quelconque Oz; dans Tangie zOP, inscrivons un cercle tangent à OP au point P, et désignons par Q le point où ce cercle louche Oz.
» a étant un point quelconque de la courbe PoP', menons Fa qui coupe OP en m, puis Qm qui rencontre le cercle en a'. Quand le point a décrit la courbe , les droites P'a et Qa' engendrent deux faisceaux homographiques;
Cela posé, par le point 0 menons dans Tespace une droite quelconque Oz; inscrivons dans l'angle zOx un cercle langent à 0 -r en P, et désignons par Q son contact avec Oz.
a étant un point quelconque de la courbe ?aP\ menons la langente correspondante qui coupe Ox en m et 0/ en a ; puis, par m, menons la tangente ma' au cercle Q^'P, et désignons par ol' le point où cette tangente coupe Oz. Quand le point a
GÉOMtTRIK BANS l'bSPACB.
mais les faisceaux décrits par P«' et Q/i' sont bomographiques (1096), et il en est de même par hypothèse des faisceaux engendrés par Pa et P'^. Donc les droites ?a et Pa' engendrent deux faisceaux bomographiques, et par suite les points a et a', où les rayons mobiles Pfl et ?a' rencontrent les droites fixes OP' et OQ, forment sur ces droites deux divisions ho-
décrit la courbe PaP', les points x et m tracent sur Or et Ox deux divisions qui, par hypolhèse, sont bomographiques; les divisions tracées sur Oj: et Oz par m et a' sont aussi bomographiques (1096); donc, les points a et a' décrivent sur Oj^et sur Os deux divisions bomographiques. Les points P' et Q sont deux points bomoiogues de ces deux divisions {m est alors en 0) ; de plus, le point 0
mographiques. Les points P' et Q est un point correspondant commun
sont deux points homologues de ces deux divisions (m esl alors en 0); de plus, le point 0 est un point correspondant commun (m est alors en P). Donc (1073) la droite ax' coupe la droite fixe Q?' en un point fixe S.
9 Par conséquent, l'œil étant placé en S, la droite P'm sera la projection de Q/n, et Pa sera celle de Pa'; donc, a sera la projection de a\ et enfin la courbe proposée ?n?' sera la projection du cercle ?n'Q (*).
(m est alors en P). Donc, la droite mobile ax' coupe (1073) la droite fixe QP' en un point fixe S.
Par conséquent , rœil étant plact^ en S, la droite a m sera la projection de a'/w, et comme la première enveloppe la courbe P^P' et que la seconde enveloppe le cercle Qa'P, on voit que la courbe P//P' esl la projection du cercle Pa'Q.
1098. Les principales propriétés des coniques résultent aisément de ce double mode de génération. Ces deux générations. Tune par point, Pautre par enveloppe, étant corrélathes, lorsque, en partant de l'une d'elles, on aura démonlré un théorème, il suffira, pour démontrer le théorème corrélatif, de parlir de l'aulre mode de génération et de faire des raisonnements rorrélalifs des premiers.
Cinq jmnts flt^termincnt une conique ; car, après avoir pris deux de ces points pour centres des deux faisceaux généralcurs, il suffît de joindre chacun d'eux aux trois autres points pour avoir trois couples de rayons homologues.
Cinq tangentes déterminent une conique; Car, çn considérant deux de ces tangentes comme fixes, les trois autres traceront sur elles trois couples de points homologues des deux divisions bomographiques qui déterminent la conique.
C) Eugène Rouciié, Bulletin de la Société Philomathique, i*' juillot i865.
