LITRE TIII. — LB8 COURBES USUELLES

i099. Les deux faisceaux homographiques qui déterminent la conique ont deux couples de rayons parallèles (réels ou imaginaires]; car si l'on transporte l'un des faisceaux parallèlement à lui-même de façon que son centre coïncide avec le centre de l'autre faisceau , on a deux faisceaux homographiques concentriques qui ont (1081 ) deux rayons doubles (réels ou imaginaires).

Si les deux couples de rayons parallèles sont imaginaires, la courbe n'a aucun point à l'infini ; elle est fermée, et nous lui donnerons le nom &* ellipse y en nous réservant de démontrer plus tard son identité avec l'ellipse définie au n*" 949.

Si les deux couples de rayons parallèles sont réels , la courbe a deux points à l'infini ; nous lui donnerons le nom ^'hyperbole, et nous démontrerons plus tard son identité avec l'hyperbole définie au n** 976.

Enfin, si les deux couples de rayons parallèles coïncident, la courbe a deux points à l'infini confondus en un seul, et par suite elle est tangente à la droite de f infini; nous lui donnerons le nom de parabole , et nous démontcerons plus tard son identité avec la parabole définie au n** 1004.

Tels sont les trois genres de coniques. Comme variétés de ces courbes, on peut avoir : ^

1* Deux droites (réelles, coïncidentes ou imaginaires), lorsque les deux faisceaux sont concentriques (1081), ou lorsque la droite qui unit leurs centres est un rayon homologue commun (1080) ;

%"* Deux points (réels, coïncidents ou imaginaires), lorsque les deux divisions ont la même base (1075), ou lorsque le point d'intersection des deux bases est un point homologue commun (1077).

' 1100. Les théorèmes de Pascal (322) et de Desargues (1094), les propositions corrélatives ainsi que leurs corollaires, sont applicables aux coniques; les démonstrations données aux n"" 322, 323, 1094, 1095, subsistent sans modification.

Le théorème de Desargues a été généralisé par Sturm {Jnnales de Gergonne, t. XVII). Considérons une suite dis coniques circonscrites à un même quadrilatère: soient aa', bb\ cc',...^ les segments que ces coniques interceptent sur une transversale quelconque L, et pp\ qq\ les segments de cette même droite compris entre les deux couples de côtés opposés du quadrilatère. Les deux couples (le points (p^p)^ [q^ q'), déterminent sur la droite L un0 involution à laquelle appartient , en vertu du théorème de Desargues, chacun des couples («, «'), (b, b'), (c, c'),...; donc ces derniers couples de points forment une iiy^olution, et l'on a ce théorème ; Les coniques qui passent par quatre points fixes déterminent sur une transversale quelconque une série de points en involution. On démontrerait pareillement le théorème corrélatif : Les tangentes menées d*un même point aux coniques tangentes à quatre droites fixes forment un faisceau en involution.