OfiOHÉTBIB DANS l'bSPACI

Pôle et polaire dans les coniques.

ilOl . *Sï par un point 0 pris dans le plan fl^une conique ^ on mène unr sécante qui rencontre la courbe en deux ^joints m et m* [réels ou imaginaires) y et si ton détermine le conjugué harmonique 0' du point O /wr rapport au sef^ment mm\ le lieu du point 0', lorsque la sécante tourne autour du point 0, est une ligne droite [fig. 556).

FiR. 556. FIg. 557.

En effet, menons deux sécantes fixes Oaa\ Obb', et prenons a et b' pour les centres des deux faisceaux bomographiques générateurs de la conique. Ces faisceaux déterminent sur la transversale Owm'deux divisions homo* graphiques dont m et m' sont les points doubles. Les pointe a et a', où cette transversale rencontre les cordes ab et a'b\ sont d'ailleurs les homologues du point 0 considéré successivement comme appartenant à la seconde et à la première division; donc (1078) le point (f est le conjugué harmonique de 0 par rapport à as', et par suite, quand la transversale 0mm' tourne autour du point 0, le point 0' décrit la polaire de 0 par rapport à l'angle bub', formé par les cordes ab et a'b'.

Le point 0 et la droite «0' sont dits pâle et polaire par rapport à la conique.

En observant qudila ])olaire de 0 par rapport à Tangle bub* ren> ferme (336) le point dUntersection des droites ab' et ba', on voit, par la démonstration même qui précède , que : Si jxtr un /joint 0 pris dans ir plan d*une conique on mène deux sécantes Oaa\ Ohb\ et si ton prentl les points de rencontre n et v des droites qui joignent deux à iteux le.% extrémités des cordes aa' et bb', le lieu des points u et v, iorsqu*on fait

LITRE ¥111. — LB8 COURBBS USUBLLSS. 87 1 .

varier les sécantes Ona, Obb', est ia polaire du point 0 par rapport n la conique.

Quand les droites Oaa\ Obb', se confondent, les cordes ab, a'b\ sont les tangentes en a et a'; donc, si par un point 0 pris dans le plan d'une conique on mène une sécante Oaa' et les tangentes at, a* t' aux points a et a' où elle rencontre la conique, le lieu du point de concours t de ces tangentes^ lorsque la transversale tourne autour de 0, est la polaire de ce point 0.

La polaire est la corde de contact des tangentes issues du pâle; car, au point de contact k d'une tangente issue du pôle , les trois points m, m\ 0', sont réunis. Par suite , la.polaire d'un point de la conique est la tangente en ce point, et inversement, fc pôle (Tune tangente est son point de contact,

il02. Les polaires de tous les points d'une droite passent par le pôle de cette droite; et inversement, les pôles de toutes les droites qui passent par un point sont situés sur la polaire de ce point.

En effet, soient {^. 557) un point A et une droite L qui sont pôle et polaire par rapport à une conique C. A' étant un point quelconque de L, la droite ÀÂ' coupe la conique en deux points a et ^ (réels ou imaginaires], et A et A' sont conjugués harmoniques par rapport à a^; donc le point A appartient à la polaire V de A'. Ainsi, la polaire d'un point quelconque A' de L passe par A; et inversement, le pôle A d'une droite quelconque L passant par A' est sur la polaire V du point A'.

n résulte de là que toute droite a pour pôle l'intersection fies polaires de lieux de ses points, et que tout point a, pour polaire la droite qui joint les pôles de deux droites issues dé ce point.

Les propriétés des quadrilatères inscrits et circonscrits, et leur démonstration (343 et 344), s'appliquent aux coniques.

ii03. La polaire d'un point 0 coupe la conique en deux points réels ou imaginaires, qui sont les points de contact des tangentes réelles ou imaginaires issues du point 0.

Lorsque la polaire du point 0 coupe la courbe en deux points réels, de ce point 0 on peut mener à la conique deux tangentes réelles, et le point 0 est dit extérieur à la conique.

Lorsque la polaire du point 0 rencontre la courbe en deux points imaginaires, les deux tangentes issues du point 0 sont. imaginaires, et le point 0 est dit intérieur à la courbe.

La région intérieure et la région extérieure ont pour ligne de démarcation la conique elle-même qui est le lieu des points dont les polaires louchent la courbe, c'est-à-dire ont chacune avec la courbe deux points communs réels et coïncidents.

Considérons une conique C et un point extérieur T [Jig. 557). La polaire de ce point rencontre la courbe en deux points réels a et p, et les