OfiOHtTE» DAHS l'eS^A^GB

droites Ta, Tp, sont les tangentes réelles issues du point T. Noos donnerons à Tangle aip formé par les directions Ta et Tp le nom d'angle des tangentes, et nous appellerons Tangle ^Ta' formé par la direction T^ et par la direction Ta' opposée à Ta V angle supplémentaire des tangentes. Cela posé , prenons les points a et ^ pour centres des deux faisceaux générateurs de la Conique , et considérons une droite quelconque TL ou TL' issue du point T. Les deux faisceaux traceront sur cette dmite deux divisions homographiques en involution; car le point T, considéré successivement comme appartenant à Tune ou à l'autre de ces divisions , a toujours pour homologue le même point A (ouÂ'), où la polaire a^ de T rencontre la transversale TL' (ou TL). Les points doubles, réels ou imaginaires de cette involution, seront les points réels ou imaginaires communs à la transversale et à la conique. Or il est aisé de voir que ces points sont réels tant que la transversale est, comme TL', située dans Tangle aT^ des tangentes, et imaginaires lorsque la transversale est, comme TL, placée dansTangle pTa' supplémentaire des tangentes. En^ffet, dans le premier cas, le segment TA et le segment nn' formé par deux points homologues de l'involution correspondant à un point quelconque m de la courbe, n'empiètent pas Tun sur Fautre et, par suite, les points doubles de l'involution sont réels ; mais si TL' tourne autour de T de manière à venir sur TL dans l'angle supplémentaire, les points n et n' glissent sur les droites fixes aa, P b^ se croisent en % et sont ensuite de part et d'autre du point T ; les segments nn' et TA' empiétant l'un sur l'autre, l'involution a ses points doubles imaginaires. Ainsi la courbe est située tout entière tians l*angle atip des tangentes issues d'un point extérieur quelconque T (et dans son opposé par le sommet).

1104. Deux points A et A' (Jfg. 557) sont dits conjugués ^v rapporta une conique lorsque la polaire de l'un passe par l'autre. Ces points sont conjugués Jiarmoniques par rapport aux deux points (réels ou imaginaires) a et p suivant lesquels la droite AA' qui les joint rencontre la conique. Lorsque les points a et ^ sont réels, l'un des points A et A' est intérieur et l'autre extérieur à la courbe.

Plusieurs couples de points conjugués sur une même étroite forment une involution dont les points doubles sont les points où la droite coupe la conique (1086). Quand ces points doubles sont imaginaires, il existe de chaque côté de la droite un point d'où l'on voit sous un angle droit chaque couple de points conjugués (1087, a**).

Deux droites L et L' sont dites conjuguées par rapport à une conique lorsque le pôle de l'une est situé sur Tautre. Ces deux droites sont conjuguées harmoniques par rapport aux deux tangentes réelles ou imaginaires issues de leur point d'intersection ; l'une au moins des droites conjuguées rencontre toujours la courbe.

Plusieurs couples de droites conjuguées issues d'un même point forment

LITBB TIII. — LES GOUIBBS USUELLES. 3^3.

tm faisceau en insolation dont les rayons doubles sont les tangentes (réelles ou imaginaires) issues de ce point. Donc (1092), par un point quelconque du plan d*une conique passe toujours un couple de droites conjuguées rectangulaires; et il n'en passe en général qu'un seul, à moins que tous les couples de droites conjuguées passant par ce point ne soient rectangulaires, ce qui a lieu pour certains points remarquables dont nous parlerons plus tard.

4105. Les polaires OA, OB, OC, OD, de quatre points a, b^ c^ r/, jitués sur une même droite L, forment un faisceau dont le rapport anharmonique est égal à celui des quatre points.

En efiet, soiei^t a\ b\ c\ d', les points où la droite D rencontre le faisceau (0,ABCD). Gomme le centre 0 du faisceau est le pôle de la droite L (1102), les points a et a', b et b\ c et c', d et d'^ sont conjugués; ils forment donc une involution et, par suite, le rapport anbarmonique [abcd) est égal au rapport anharmonique (a'b'c'd'), qui n'est autre que le rapport anharmonique du faisceau (0,ÂBCD).

Diamètres et centre,

i106. Les deux points de rencontre a et ^ d'une conique et d'une droite sont réels ou imaginaires, mais le point milieu du segment a^ est toujours réel ; c'est le conjugué harmonique par rapport à ap du point situé à l'inBni sur la droite considérée (1066). Il résulte de là que le lieu des milieux des cordes d'une conique parallèles à une direction donnée est une ligne droite; c'est la polaire du point à l'infini commun à toutes ces cordes. Cette droite , qui passe évidemment par les points de contact des tangentes parallèles à la direction donnée, a reçu le nom de diamètre.

A chaque direction des cordes répond un diamètre. Tous les diamètres passent par un point unique, pôle de la droite de Tinfini (1102) et qu'on nomme centre de la conique.

La polaire du centre étant la droite de l'infini, les tangentes réelles ou imaginaires issues du centre ont leurs points de contact à l'infini; on leur donne le nom ^'asymptotes.

Quand un angle est circonscrit à une conique, la droite qui joint le sommet au milieu de la corde de contact est un diamètre; car c'est la polaire du point à l'infini situé sur cette corde.

1107. On donne le nom de diamètres conjugués à deux droites conjuguées quelconques passant par le centre , c'est-à-dire à deux diamètres tels, que le pôle de l'un soit situé sur Vautre. Le pôle d'un diamètre étant à l'infini sur la direction des cordes correspondantes, on voit que : Quaml deux diamètres sont conjugués, chacun d'eux est parallèle aux cordes que l'autre divise en deux parties égales.

374* GÉOlrtTlR BA1I8 l'bSPAGB.

Jm polaire L d'un point p du plan d'une conique est parailèie au diamètre conjugué Où de celui Qa qui passe par ce point [fig, 558) ; car

Fig. 558.

celte polaire doit passer par le pôle du diamètre Oa^ et ce pôle est à Tinfini sur 06. En désignant par p* le point où le diamètre a^Oap rencontre la droite L, les quatre points a\ p\ a, /?, forment une proportion harmonique, et Ton doit avoir Oc = Op.Op\ En particulier, les tangentes T et T' menées aux extrémités d'un diamètre aa* sont parallèles à son conjugué 06.

Plusieurs couples de diamètres conjugués forment un faisceau en involution (1091) dont les rayons doubles sont les asymptotes (réelles ou imaginaires) de la courbe. On conclut de là quVV existe toujours un système de diamètres conjugués rectangulaires, et un seul ( à moins que tous ne le soient, auquel cas la courbe est un cercle ) ; chacun de ces diamètres, divisant alors en deux parties égales les cordes perpendiculaires à sa propre direction, est un arc de symétrie; une conique a donc deux axes. Les deux axes étant conjugua harmoniques par rapport aux asymptotes et étant à angle droit Tun sur Tautre, sont (333) les bissectrices des angles formés par les deux asymptotes (réelles ou imaginaires).

On nomme cordes supplémentaires deux cordes qui, partant d'un même ppint m de la conique {Jlg, 559), aboutissent aux extrémités d*un même diamètre ÂÂ'. Deux cercles supplémentaires Ânt, X'm, sont parallèles à un système de diamètres conjugués. En effet, soient OC et OD deux diamètres respectivement parallèles à A' m et à A m. OC passant par le milieu 0 de AÀ' passera par le milieu K de Am; il divise donc en deux parties égales les cordes parallèles à OD, et par suite OC et OD sont conjugués. Inversement, deux droites km et A'/w menées par les extrémités d'un diamètre AA', parallèlement à' deux diamètres conjugués quelconques OD et OC, se coupent sur la conique. Car désignons par ft le* point où la corde A m parallèle à OD coupe la conique, et menons ftA'; les cordes supplémentaires A fi, A'fi» seront parallèles à deux diamètres conjugués; et comme Ap est parallèle à OD, A'^ doit être parallèle à OC; elle ne diffère donc pas de X'm et les points /n et p se confondent.

LIYRK TIII. ^ LES GOURBIS U8UBLLB8. 375.

Cela posé, considérons séparément l'ellipse, Thyperbole et la parabole.

ii08. Vellipse n'ayant aucun point à l'infini, la droite de Tinfini est extérieure à la courbe, et son pôle 0, c'est-à-dire le centre de Tellipse y est à l'intérieur de la courbe. Tous les diamètres rencontrant la courbe en deux points réels sont limités ; et comme les tangentes issues du centre sont imaginaires, le. faisceau en involution formé par les divers couples de diamètres conjugués n'a pas de rayons doubles; donc, un couple quelconque (OA, OB) de deux diamètres conjugués est séparé par tout autre couple (OC, OD) ; en d'autres termes, si OC est situé dans l'angle BOA (fig, 559), OD est extérieur à cet angle.

Le diamètre AA' étant la polaire du point à l'inBni, sur le diamètre conjugué. OB, les cordes supplémentaires km et km' tracent sur OB, quand m se déplace sur la courbe, une involution dont B est un point double. On a donc, en appelant n et /t' les points où OB rencontre Km et km\ la relation

Prenons pour axe des x le demi-diamètre OA, dont nous désignerons la longueur par a\ et pour axe des y le demi-diamètre OB, dont nous désignerons la longueur par b'\ y et .r étant les coordonnées mp et 0/^

Fiff. 559.

Fi^. 56o.

^run point quelconque m de la conique, on a, en considérant d abord les triangles semblables nOk et mpk, puis les triangles semblables n'Ok' ol nipk'y

X On X On*

en multiplant membre à membre et ayant égard à la relation (1), un obtient pour l'équation de l'ellipse

3n6. GÉOMtTBIV DANS l'B8PA€B«

Si Ton désigne par x\y*^ et par x*, /', les coordonnées des extrémités C et D des diamètres OC et OD parallèles aux cordes k*m et A m, on a, ei» considérant d*abord les triangles semblables OCç et Â'/v'O, puis les triangles semblables OD r, A /i 0,

x' ~ lï' ' — x" "^ a' '

en multipliant membre à membre et ayant égard à la relation (i), on trouve

(3) ^..r: = ^Él\

r' Le rapport"^ reçoit le nom de coefficient anguiaire du diamètre OC; de

y' mème*^ est le coefficient angulaire du diamètre OD.

Lorsqu'on prend pour axes de coordonnées les axes mêmes de la courbe, on a, en désignant par a le demi grand axe dirigé suivant Ox et par b 1& demi petit axe dirigé suivant O7,

(5) zL^ïl^^^.

r' les coordonnées étant alors rectangulaires, le coefficient angulaire -7 est

égal à tang COA et -^ est égal à Ung DOA.

II est facile d'exprimer les coordonnées x*, y"^ de l'extrémité D d'un diamètre OD en fonction des coordonnées x', y\ de Textrémité C de son conjugué OC. En effei^ le point C étant sur la courbe, ses coordonnées x' pix' satisfont à Téqualion (4) ; on peut donc poser

(6) x'=/7cosç', ^'=^8in^', et de môme

(7) .r* = rt cos (?', j''=^sin^'.

La relation ( 5 ) devient alors

cos(f*— 7') = o d*où ^'=--1-^', et, par suite,

(8) x''= --asinff'^ —j-x' 7*= ^cosy' = -x';

pour avoir les. coordonnées de Taulre extrémité D' du diamètre OD, il suffirait de changer les signes.

LIVEB TIII« ^ LB8 COUBBBS U8UBLLBS. 377.

Les relations (6) et (8) donnent

donc la somme des carrés des projections orthogonales des deux demi^ diamètres conjugués OC et OD sur un axe est constante. En ajoutant les deux égalités précédentes, on a

[x'^^y'^)-h[x'^-^X'^)^a^'hb^ ou Ôc' -+- Ôd" = fl* -f- ^» ;

donc, la somme des carrés de deux demi-diamètres conjugués est constante.

Le triangle OCD est la moitié du parallélogramme construit sur les deux demi-diamètres conjugués OC et OD. Il est égal au trapèze £X>rq^ diminué de la somme des deux triangles rectangles OC7, ODr; son aire a donc pour expression

OM-ab^ eu égard aux formules (6] et (8). Donc l'aire du parallélo-

gramme construit sur deux demi-diamètres conjugués est constante.

Les deux derniers théorèmes sont dus à Apollonius.

La proposition précédente peut s*écrire, d'après une expression bien connue de Taire du triangle,

0C.0DsinœD = i7^.

L'angle COD de deux demi-<liamètres conjugués est donc maximum

lorsque le produit OC.OD ou son carré UC . OD est minimum ; ce qui a

lieu pour OC = OD, puisque OC + OD est constant. Ainsi, les diamètres conjugués qui font le plus grand angle sont les diamètres conjugués égaux.

Le carré de leur longueur commune est - (a' -f- &'), et Ion a 1 (a^-hb') = x'^-h x'' =z a'cos'^' -h b'sin'f'.

On déduit de là sin^ = — = cos f ; par suite les coordonnées ^ et y

du point C sont alors proportionnelles à a et 6, de sorte que les diamètres conjugués égaux sont dirigés suivant les diagonales du rectangle construit sur les axes, ^

L'angle COD de deux demi-diamètres conjugués est droit lorsque OC coïncide avec le grand axe, puis il augmente jusqu'à ce que OC soit dirigé suivant une diagonale du rectangle des axes; il diminue ensuite et redevient droit lorsque OC prend la position du petit axe.