GfiOMtTRIB BÂNfl l'eSPACB

Ouand les axes a et 6 de l'ellipse sont égaux entre eux, Téquation ( 4) se réduit à j:' + jr' = ^' ; tous les points de la courbe sont donc à une distance du centre égale à a\ en d'autres termes, Tellipse dégénère en un cercle.

Pour une même abscisse Op {fig, 56o), c'est-à-dire pour une même valeur de l'angle f', Tordonnée mp de Tellipse est ^sibf', et celle np du

cercle décrit sur le grand axe comme diamètre est asin^'; le rapport -^

est donc constant et égal à ~ •

Remarquons enfin que l'angle auxiliaire 7', dont l'emploi est si commode, est précisément l'angle nOp,

1109. Vhyperbole ayant deux points réels sur la droite de l'infini, son centre est extériepr à la courbe (1103); les tangentes Ou,Ov^ issues du centre, c'est-à-dire les asymptotes, sont donc réelles; ce sont les rayons doubles du faisceau en involulion formé par les deux couples de diamètres conjugués. Il suit de là que deux diamètres conjugués quelconques divisent harmoniquement l'angle des asymptotes et qu'aucun couple de diamètres conjugués n'est séparé par aucun autre. Enfin, de deux diamètres conjugués , l'un rencontre réellement la courbe et l'autre ne la rencontre pas ( 1 103 ).

Les portions AE, AE' (fig, 56 1), d'une tangente comprise entre l'hyperbole et ses asymptotes, sont égales; car les asymptotes Oa et 0»% le diamètre OAxet son conjugué 0/ forment un faisceau harmonique, et la tangente EAE', étant parallèle au rayon 0/ de ce faisceau (1107), est di\isée en deux parties égales par les autres rayons. Il suit de là que si Ton mène AP et AP' parallèles aux asymptotes, P est le milieu de OE et P' le milieu de OE'; donc, lorsqu'on prend les asymptotes pour axes de coordonnées, la sous-tangente OE' est double de l'abscisse OP' du point de contact.

Les portions gm et g' m' d'une sécante gg^^ comprises entre r hyperbole et ses asymptotes, sont égales. En eflet, soit EAE' la tang(>inte parallèle à gg'j et OA le diamètre qui passe au point de contact; ce diamètre divise la corde mm' de l'hyperbole en deux parties im et i/n' égales entre elles; mais puisque A est le milieu de EE', / est évidemment le milieu de la parallèle gg' ; donc ig = ig', et, par suite , ih — im ou gm est égal à ig* — im' ou à g'm'.

Une tangente quelconque EAE', lorsque son point de contact A se déplace sur la courbe, trace sur les asymptotes (1096) deux divisions homographiques ; et comme le point 0 correspond évidemment à l'infini dans l'une et l'autre division, le produit OE.C^' est constant; il en est donc de même de Taire du triangle OEE' et, par suite, de l'aire du parallélogramme OPAP' qui est la moitié de ce triangle. On voit par là que si l'on désigne

LIYRB Tlli. — LES C0D1BB8 C8DBLLB8. 879.

I>ar x et x les coordonnées d'un point quelconque A de l'hyperbole rapportée à ses asymptotes, On et Oi», on a pour l'équation de cette courbe

jr}r — const.

Fig. 56 1.

iHO. AOA' étant un diamètre transverse quelconque de l'hyperbole, menons les tangentes en A et A' qui coupent les asymptotes, la première en E et E', Taulre en F et F'. Les triangles OAE, OAF', sont égaux puisqu'ils oni leurs angles respectivement égaux et que OA = OA'; donc AE = AF'; par suite, les droites EE', FF', sont égales, et, comme elles sont parallèles (ii07), la figure EFF'E' est un parallélogramme dont 0 est le centre. Soient B et B' les points où le diamètre /Oj' conjugué de OA rencontre EF et ET'; B est le milieu de EF, B' celui de E'F', les droites AB', A' B^ sont parallèles à TasymptoteÛM, et les droites AB et A'B' à l'asymptote Op.

Cela étant, posons OA — a\ OC = h', et prenons les deux demi-diamètres conjugués OAx, OB/, pour axes de coordonnées ; m étant un point quelconque de Thyperbole, les deux cordes supplémentaires A/;?, A'/7/, déterminent sur le diamètre yOy' deux points n et «' qui engendrent une involution (1108) dont B et B' sont évidemment deux points homologues. On a donc

0/?.0/ï' = OB.OB'=— ^r

Dès lors, tous les raisonnements faits et les résultats obtenus pour Tellipse subsistent, en changeant IP en — b^ ou h' en h' |/^. Ainsi : i"" L'hyperbole rapportée à deux diamètres conjugués a pour équation

Pour X = o, on a 7- = =fc ^' y^— 1 ; de là le nom de longueur du di^midiamètre non transverse attribué à OB = b'.

a et ^ étant les longueurs des deux axes, on a , en prenant ces droites pour axes de coordonnées rectangulaires,

^' 'Il - ,

38o. GÉOMlkTRlB DAJC8 l'bSPACB.

Les IriaDgles 8omblab)e8^<0,£AO, donnent

gi EA b' -.» ^'»— i

on a d'ailleurs, par l'équation de l'hyperbole,

a donc, en retranchant,

mi =~ (oc' -«'»);

gi — mi = b'^ ou

b'* = (gi -+- iwi) [gi — mi) = g'/w.g^m' = mg.mg";

ainsi /!? produit des segments d'une sécùnie^ compris entre un point de la courbe et les asjrmptotes, est égal au carré du demi-diamètre parallèle à la sécante»

%** La relation entre les coefficients angulaires de deux demi -diamètres conjugués est

suivant qu'on prend pour axes de coordonnées les demi-Kiiamètres^ conjugués a* et b' ou les axes ci et ^ de la courbe.

3*" Les coordonnées de l'extrémité d'un demi-diamètre s'expriment en fonction des coordonnées de l'extrémité du demi-diamètre conjugué par les formules

qui sont dues à M. Chasles. [Jperçu historique, etc.)

4* La différence des carrés des projections de deux demi-diamètres conjugués sur un axe est constante, La différence des carrés de deux diamètres conj'ugués quelconques est constante, ainsi que taire du parallélogramme construit sur ces diamètres,

La relation a" — b'^ = a^—b* montre que si a est différent de ^, a' est différent de b'; V hyperbole n'a donc p€is de diamètres conjugués égaux.

Si a = 6^ on a a' = ^, c'est-à-dire que tout diamètre est alors égal à son conjugué, et l'hyperbole est dite équilatère. Le parallélograrome EB'F'F construit sur deux diamètres Conjugués quelconques est dans ce cas un losange , et les asymptotes qui en sont les diagonales sont alors rectangulaires.

Nous avons vu (1109) que l'hyperbole rapportée à ses asymptotes a pour équation xx'= K' ; en supposant que dans la^. 56 1 les droites OA

LITRB YUI. — LBS G0U1BB8 08UBLLBS. 38l .

et OB soient les axes a et 6 de la courbe, le parallélogramme OJŒ'B' sera un rectangle y et les coordonnées OP' et P'A du sommet À par rapport aux asymptotes^ seront lune et l'autre égales à la moitié de la diagonale /«' -H à* de ce rectangle; on a donc

pour une hyperbole quelconque, et en particulier pour l'hyperbole équi-

latère K' = - a'. On donne souvent à cette constante K% que nous

venons d'exprimer en fonction des axes, le nom de puissance tie i^ hyperbole.

MM, La parabole étant tangente à la droite de rinfini, son centre qui est le pôle ou le point de contact de cette tangente disparait à Tinfini. Donc, tous les diamètres ax ^ nu^ AX,..,, sont parallèles^ et cette courbe n^a qu^un axe AX à distance finie. Le point A, où c«t axe rencontre la courbe, est le sommet (fig, 562) de la parabole.

% Fîg. 563.

Une tangente mobile détermine sur deux tangentes fixes d'une conique deux divisions homographiques (1096); dans la parabole, ces deux divisions homographiques sont semblables (1074), puisque la droite de l'infini étant une des positions de la tangente mobile, les points à Tinfini dans les deux divisions sont homologues. Donc, toutes les tangentes à la parabole divisent deux tangentes fixes en parties proportionnelles; et réciproquement, si deux droites fixes sont ditrisées en parties proportionnelles, l'enveloppe des droites qui joignent le^ points homologues, est une parabole tangente aux deux droites fixes ^ Cette propriété est très-utile dans les applications.