GfiOMfiTB» DANS L*BSP1GE
Prenons pour axes de coordonnées un diamètre quelconque ax el la tangente ^ à son extrémité a\mei n étant deux points quelconques de la parabole, menons les ordonnées mr et nq, la droite an et le diamètre nu qui coupent mr en c et en c'. On a (1108)
mr = rc,rc'\
mais
I ^ rc nq
rc = noy et — = —t .
^ ac aq
Donc
ou
rc.rc' mr ^nq
ar aq
En d'autres termes, l'expression -^ est coQstante ; en la désignant par %p^ réquation de la parabole rapportée aux axes de coordonnées ax et ajr est
La valeur de p varie avec la position du point a de la courbe, que^'on prend pour origine. Au sommet A, les axes deviennent rectangulaires, et la valeur correspondante de la constante /? est ce qu'on appelle le paramètre de la parabole.
Soit nt la tangente en n qui coupe ax en t; nq est la polaire du point / (1101 ) ; par suite, les quatre points /, a^q,fo ^ forment un système harmonique. On a donc ai = aq^ d*où iq = naq. Ainsi, dans la parabolr, la sous'tangente (c'est4-dire la portion tq du diamètre ax comprise entre les pieds de l'ordonnée et de la tangente) est double de V abscisse du point de contact.
Foyers et directrices,
11 iS. On nomme yb/irr tout point du plan d'une conique autour duquel chaque droite est perpendiculaire à sa conjuguée.
Un foyer ne peut se trouver que sur un axe; car, pour tout autre point du plan le diamètre qui passe par ce point et la parallèle au conjugué de ce diamètre forment un couple de droites conjuguées non rectangulaires.
Pour prouver qu'un point F d'un axe est un foyer, il suffit de démontrer qu'on peut mener par ce point F un couple de deux droites conjuguées rectangulaires et non parallèles aux axes ; car Taxe proposé et la parallèle à Tautre axe mené par le point F formeront un second couple de droites conjuguées rectangulaires, et Ton sait (1092) qu'autour d'un point tous les couples de droites conjuguées sont rectangulaires dès que deux couples le sont.
LIYRS TIII. — LIS C0UBBS8 UflUELLBS. 393*
Cela posé, considérons Veiiipse, -- Soient 0, le centre; Ou et Op, les directions des deux axes dont nous désignerons les demi-longueurs par a et p ; OX et OfA, les directions des diagonales du rectangle construit sur les axes; F, un point quelconque de Taxe Ou, et GDP, la polaire du point F par rapport à l'ellipse {Jîg. 563). Menons ¥Q parallèle à 0>. Le pôle de FQ sera le point P commun à GD et à 0^, de sorte que FP ôera
Fîg. 563.
Ks.
D tt
la conjuguée de FQ. Donc, pour que F soit un foyer, il faut et il suffît que l'angle QFP soit droit, c'est-à-dire qu'on ait
Mais on a
Yïi = PD.DQ == DG.DQ.
ÇQ 5!? P H— DG.DQ P^ FD""UD"~â' ^^" FD.OD~flr''
On en déduit, par division,
d'où
OD ~ a'' OD a'
D'ailleurs, puisque GP est la polaire de F, on a (2) OF.OD=a».
En multipliant (i) et (2), on obtient
OF = a^- P', d'où OF = ± v/a« - p*. Il y a donc sur Ou deux foyers qui sont réels ou imaginaires, suivant
