GfiOMfiTBIB DANS L^ESPi^CB

plément de r angle formé par les rayons vecteurs des points où la corde

coupe la parabole.

On en déduit que le rapport des distances d^un point quelconque de ia parabole au foyer et à la directrice est constant; comme le sommet est équidistant du foyer et de la directrice, la constante est égale à un; donc tout point de la parabole est équidistant du foyer et de la directrice. On retombe ainsi sur la définition de la parabole donnée au n"* i004, et nous pouvons alors regarder comme acquises toutes les propriétés et toutes les constructions données dans le § III. En particulier, le paramètre p représente la dislance du foyer à la directrice; il est aussi égal à la sous-normale comptée sur l'axe, c'est-à-dire à la partie de Taxe coaiprise entre les pieds de Tordonnée et de la normale. (Il importe de remarquer que lorsque la parabole est rapportée à un diamètre quelconque et à la tangente correspondante, la sous-tangente est toujours double de Tabscisse, mais la sous-normale n*est plus constante et égale au paramètre ; cette dernière propriété n'est vraie que dans le cas où la parabole est rapportée à son axe et à la tangente au sommet. )

iil6. Lorsque plusieurs coniques ont les deux mêmes foyers, on dit qu'elles sont confocales.

Deux coniques confocales ont le même centre, et leurs axes sont dirigés suivant les mêmes droites; elles ont aussi les mêmes systèmes de droites conjuguées rectangulaires (1112).

Deux ellipses, deux hyperboles, une ellipse et une hyperbole peuvent être confocales. Mais une parabole ne peut être confocale que d'une parabole.

Si par un point on mène deux tangentes à une conique et deux tangentes à une conique confocale , les angles des deux premières tangentes et les angles des deux autres ont les deux mêmes bissectrices.

Par un point P du plan d*une conique^ on peut mener deux coniques confocales avec la première; ce sont une ellipse et une hyperbole si la conique primitive est une ellipse ou une hyperbole; ce sont deux paraboles de sens opposés si la première conique est une parabole. — Ces deux coniques se coupent orthogonale ment, car leurs tangentes au point P sont les bissectrices des angles que forment les droites menées de ce point P aux deux foyers de la conique primitive.

1117. Voici quelques formules utiles :

I* Considérons une ellipse rapportée à son centre 0 et à ses axes OA etOB [Jîg. 567]; M étant un quelconque de ses points, soient x et j ses coordonnées OP et MP, p et p' les deux rayons vecteurs MF et MF', et b* la longueur du demi-diamètre conjugué de OM. Menons la tangente TMT' et la normale MNN', la perpendiculaire MD sur la directrice, et les perpendiculaires OE, FK, F'K', abaissées du centre et des foyers sur la tangente.

Ooa

(i) p = a — <rjr,

!>' = û 4- ex,

OT'=f

ON'=-^r,

PN=*;x.