MN = ^V/P
«N' = fv^' = T''
MN.MN' = b".
bb'
bb'
ab
La première des formules (i) résulte delà relation
FM = ^.MD = ff (OH - OP).
La troisième des formules (i) s'obtient en faisant la somme des carrés des valeurs (8) du n" 1108, et ayant égard à la position du point M sur l'ellipse. — Les formules (tt) sont une conséquence de la théorie des pôles et polaires. — La première formule ( 3 ) résulte de la théorie des foyers, et la seconde de la similitude des triangles ONN', NPM. — On obtient la première formule (4) en appliquant la formule du n"" 238; et la seconde résulte de la similitude des triangles ONN', NPM. — Enfin les deux premières formules (5) s^obtiennent à l'aide du théorème du n° 972 et de la similitude des triangles FMK, F'MK', qui donne le rapport de FKà F'K'; la troisième s'en déduit en prenant la demi-somme.
2" En changeant b* en — A*, on a des formules analogues pour TAjperbole,
Fig. 567. FIg. 568.
3* Considérons une parabole rapportée à son axe Ajt et à la tangente A/ au sommet {jig. 568). M étant un quelconque de ses points, soient x et ^ ses coordonnées ÀP et MP, p le rayon vecteur MF, p le paramètre FH = 2 ÀF, et B rinclinaison de la tangente MT sur l'axe. Me-
nons la normale MN, et abaissons la perpendiculaire FK du foyer sur la tangente MT.
On a
TP=:a:c, PN = >3, TN = ;?H-j-, p = FT = ^TN =f h- x.
Le triangle rectangle FTK donne ensuite
Tk' = TF.TA = p.x, Kf' = FT.AF = ^p, d'où
Mt' = ap j:, MN* = /?p.
Enfin on a» dans le triangle rectangle TMN,
PM y ^j^' p^ p
Nous avons vu que la parabole rapportée à un diamètre quelconque M j:' et à la tangenle correspondante M/' avait pour équation j'' = 'i,p*x\ Pour évaluer p\ menons AI parallèle à MT, de manière à figurer les coordon* nées X* = MI, j'= — AI du sommet A par rapport aux axes^'M j'; nous aurons alors
f X MT MT apjT ^ ~ax'-aAT" TP ~ a: ~ ^^»
ou encore, d'après ce qui précède,
;,'=TN, p' = p-h:KX, p'=^q'
Remarquons que le paramètre p de la parabole , exprimant la distance du foyer à la directrice, est égal à l'ordonnée du foyer. On donne également le nom de paramétre, dans Tellipse et dans Thyperbole , à l'ordonnée du foyer; pour avoir sa valeur en fonction des axes a et b, il suffit
c a^ de multiplier par ^ ou - la distance c du foyer à la directricei ce qui
donne r~ • a
Complément de la méthode des polaires réciproques,
1118. Nous nous proposons dans ce paragraphe de compléter et de généraliser la théorie que nous avons exposée aux n'^ 343 et suivants.
Nous nommerons origine le centre 0 du cercle auxiliaire par rapport auquel on prend les pôles et les polaires, et nous désignerons par R son rayon.
